Bestimmung der Konvergenz Folg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 02.01.2013 | | Autor: | mathaton |
| Aufgabe | Zu gegebenem [mm] x_{0} \in \IR [/mm] sei [mm] f:[x_{0}, x_{0}+1] \to \IR [/mm] eine im Punkt [mm] x_{0} [/mm] differenzierbare Funktion mit [mm] f(x_{0}) [/mm] ≠ 0. Die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] sei definiert durch
[mm] x_{n} [/mm] := [mm] (\bruch{f(x_{0}+\bruch{1}{n})}{f(x_{0})})^{n}
[/mm]
Untersuchen Sie die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Falls der Betrag des Ausdrucks in der Basis kleiner als 1 wäre, so wäre die Konvergenz dieser Folge eindeutig. Nun sind aber Funktionen bekannt, wie f(x) = 1, die, wenn man sie hier einsetzt, zwar in einem größeren Betrag in der Basis als 1 resultieren, aber die dennoch einen reellen Grenzwert haben, im konkreten Beispiel die eulersche Zahl e. Ich suche Tipps, um die Konvergenz dieser Folge zu zeigen oder zu widerlegen.
Ohne die Exponente betrachtet, nähern sich ja alle Werte der Basis 1. Doch da Funktion variieren kann, weiß ich nicht, ob die Folge bei allen Funktionen konvergent ist. Im Prinzip würde ein Beispiel einer Funktion, die hier eingesetzt in einer nicht-konvergenten Folge resultiert, genügen, um zu widerlegen, dass die Folge immer konvergent ist, doch misslang mir bislang, ein solches Beispiel zu finden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
mein Tipp hie war falsch, weil ich mich bei der Klammernsetzung vdrlesen hatte. ich lass ihn aber mal stehen, weil sich die folgenden Mitteilungen darauf beziehen.
gruß, Diophant
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hast du schon daran gedacht, den Bruch in der Klammer zu
[mm] 1+\bruch{1}{n*f(x_0)}
[/mm]
zusammenzufassen?
Insbesondere macht man sich dabei ja [mm] f(x_0)\ne{0} [/mm] zunutze.
Je nachdem, was alles so verwendet werden darf, wäre man da ja quasi schon fast fertig. Auf jeden Fall sieht man so viel eher, wohin die Reise hier geht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 02.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> hast du schon daran gedacht, den Bruch in der Klammer zu
>
> [mm]1+\bruch{1}{n*f(x_0)}[/mm]
>
> zusammenzufassen?
Das setzt aber f(x)=x voraus bzw. genauer [mm] f'(x_0)=1.
[/mm]
Im allgemeinen ist das so nicht anzunehmen.
> Insbesondere macht man sich dabei ja [mm]f(x_0)\ne{0}[/mm] zunutze.
>
> Je nachdem, was alles so verwendet werden darf, wäre man
> da ja quasi schon fast fertig. Auf jeden Fall sieht man so
> viel eher, wohin die Reise hier geht...
Ja, die Exponentialfunktion stand zu vermuten. Für $f(x)=ax$ geht die Reise wohl zu [mm] e^{\bruch{1}{a*x_0}}. [/mm] Aber wie ist es für [mm] f(x)=b*\sin{x}, [/mm] um nur eine andere Funktionenschar zu nennen?
Grüße
reverend
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
danke für den Hinweis. Ich hatte irgenwie die Klammernsetzung falsch gelesen, mein Tipp ist natürlich völlig unbrauchbar.
Grüße & einen schönen Abend (im Land, aus dem mein Lieblings-Sportgerät kommt?  ),
Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mi 02.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> danke für den Hinweis. Ich hatte irgenwie die
> Klammernsetzung falsch gelesen, mein Tipp ist natürlich
> völlig unbrauchbar.
Nein, das kann man auch nicht sagen. Die Spur scheint mir schon richtig zu sein. Für einige Funktionen kommt man damit weiter, ich sehe nur immer noch keinen allgemeinen Ansatz, bin aber auch gerade an ein paar anderen Dingen...
> Grüße & einen schönen Abend (im Land, aus dem mein
> Lieblings-Sportgerät kommt? ),
Wenn dieses Gerät eine Spaghettizange ist oder vielleicht ein Trüffelhobel, dann ja... Leider ist die Küchenausstattung etwas spartanisch, es gibt weder eine Seeigelschere noch eine Grätenpinzette noch einen Drehspieß für ein gewöhnliches Porchetta. Von einer Parmesanreibe ganz zu schweigen. Dafür aber Internet.
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 02.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Als Diskussionsbeitrag: Die Differenzierbarkeit sollte mit untergebracht werden.
Vielleicht gelingt es in der Richtung [mm] $f(x_0 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) \approx f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0) \cdot \bruch{1}{n}$. [/mm] Dann sieht es aus wie bei Diophant, nur mit dem [mm] $f'(x_0)$ [/mm] im Zähler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mi 02.01.2013 | | Autor: | mathaton |
Vielen Dank für den Tipp, ich versuche es gerade. Ich bin neu in diesem Forum, und habe erst jetzt festgestellt, dass Antworten existieren, obwohl ich zwischenzeitlich die Seite neulud. Dafür möchte ich mich entschuldigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 02.01.2013 | | Autor: | mathaton |
Über die gewöhnliche Bernoulli-Ungleichung und ![[]](/images/popup.gif) diese Formel (Unterpunkt related inequalities) habe ich nun die Gesamtungleichung aufgestellt, dass
[mm] 1+\bruch{f'(x_{0})}{f(x_{0})} [/mm] ≤ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] ≤ [mm] e^{\bruch{f'(x_{0})}{f(x_{0})}}
[/mm]
Da der Grenzwert über diese Ungleichung eingeschränkt werden kann, ist er reell. Falls ich keinen Fehler gemacht habe, lässt sich ein genauerer Grenzwert bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Über die gewöhnliche Bernoulli-Ungleichung und
> diese Formel
> (Unterpunkt related inequalities) habe ich nun die
> Gesamtungleichung aufgestellt, dass
>
> [mm]1+\bruch{f'(x_{0})}{f(x_{0})}[/mm] ≤
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}[/mm] ≤
> [mm]e^{\bruch{f'(x_{0})}{f(x_{0})}}[/mm]
>
> Da der Grenzwert über diese Ungleichung eingeschränkt
> werden kann, ist er reell.
was willst Du mit diesem Satz sagen?
> Falls ich keinen Fehler gemacht
> habe, lässt sich ein genauerer Grenzwert bestimmen?
Ja - Fred hat das ja getan. Wir er darauf gekommen ist, ist eigentlich gar
nicht so schwer; ich hatte schonmal in eine ähnliche Richtung gedacht,
aber es doch irgendwie nicht gesehen (die Verkettung habe ich irgendwie
nicht mitgedacht). Daher erläutere ich es mal einfach kurz, wie man auf
sowas kommen kann:
Mit den Rechenregeln für den [mm] $\ln$ [/mm] erkennt man
[mm] $$\ln(x_n)=n*(\ln(f(x_0+1/n))\;-\;\ln(f(x_0)))=\frac{\ln(f(x_0+1/n))-\ln(f(x_0))}{1/n}\,.$$
[/mm]
Wenn nun [mm] $\ln \circ [/mm] f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] rechtsseitig differenzierbar ist,
so gilt aber
[mm] $$\left(\frac{1}{f(x_0)}*f\,'(x_0)\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}\right)\;\;\;\;\;(\ln \circ f)\,'(x_0)=\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(f(x_0+h_n))-\ln(f(x_0))}{h_n}$$
[/mm]
sogar für jede Folge [mm] ${(h_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] mit $0 < [mm] h_n \to 0\,.$
[/mm]
P.S. Natürlich nutzt Fred auch die Stetigkeit des [mm] $\ln$ [/mm] aus - wenn er dies
auch nicht explizit erwähnt!
Gruß,
Marcel
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Hallo mathathon, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das habe ich gerade angesichts der interessanten Aufgabe ganz übersehen, dass Du neu im Forum bist. Normalerweise bekommst Du hier relativ schnell zielführende Antworten, aber nur selten direkt eine Lösung. Wir wollen ja nicht Deine Arbeit erledigen, sondern Dir mit ein paar Anstößen (oder sagen wir: Hinweisen) helfen, die Aufgabe selbst zu lösen - schon damit Du die nächste ähnliche Aufgabe alleine hinbekommst.
Wie gesagt ist diese Aufgabe aber spannend und kein Standard. Da mag die Diskussion auch anders verlaufen...
Diophant hat die richtige Spur gelegt und chrisno hat sie verfeinert. Mich stört noch das [mm] $\approx$-Zeichen, [/mm] auch wenn die Idee natürlich richtig ist. Hier ist ein Grenzwert gefragt.
Erst einmal aber muss man sich die Differenzierbarkeit (einschließlich Stetigkeit) in [mm] x_0 [/mm] zunutze machen. Es reicht übrigens rechtsseitige Differenzierbarkeit aus.
Zeige nun zuerst, dass für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon>0\;\;, \varepsilon\in\IR [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] \forall{n>N},\;\; n\in\IN [/mm] gilt: [mm] \left|\left(f(x_0)+\bruch{1}{n}*f'(x_0)\right)-f\left(x_0+\bruch{1}{n}\right)\right|<\varepsilon
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo mathathon,
>
> Das habe ich gerade angesichts der interessanten Aufgabe
> ganz übersehen, dass Du neu im Forum bist. Normalerweise
> bekommst Du hier relativ schnell zielführende Antworten,
> aber nur selten direkt eine Lösung. Wir wollen ja nicht
> Deine Arbeit erledigen, sondern Dir mit ein paar Anstößen
> (oder sagen wir: Hinweisen) helfen, die Aufgabe selbst zu
> lösen - schon damit Du die nächste ähnliche Aufgabe
> alleine hinbekommst.
>
> Wie gesagt ist diese Aufgabe aber spannend und kein
> Standard. Da mag die Diskussion auch anders verlaufen...
>
> Diophant hat die richtige Spur gelegt und chrisno hat sie
> verfeinert. Mich stört noch das [mm]\approx[/mm]-Zeichen, auch wenn
> die Idee natürlich richtig ist. Hier ist ein Grenzwert
> gefragt.
>
> Erst einmal aber muss man sich die Differenzierbarkeit
> (einschließlich Stetigkeit) in [mm]x_0[/mm] zunutze machen. Es
> reicht übrigens rechtsseitige Differenzierbarkeit aus.
das steckt in der Aufgabe mit drin: $f: [mm] [x_0,x_0+1] \to \IR$ [/mm] ist quasi per
Definitionem genau dann differenzierbar in [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0$
[/mm]
rechtsseitig diff'bar ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 02.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > Erst einmal aber muss man sich die Differenzierbarkeit
> > (einschließlich Stetigkeit) in [mm]x_0[/mm] zunutze machen. Es
> > reicht übrigens rechtsseitige Differenzierbarkeit aus.
>
> das steckt in der Aufgabe mit drin: [mm]f: [x_0,x_0+1] \to \IR[/mm]
> ist quasi per
> Definitionem genau dann differenzierbar in [mm]x_0\,,[/mm] wenn [mm]f\,[/mm]
> in [mm]x_0[/mm]
> rechtsseitig diff'bar ist!
Ja, richtig. Interessant ist doch aber, dass linksseitige Differenzierbarkeit gar nicht gefordert ist. Die Aufgabe beinhaltet dieses Faktum in der Tat, versucht es aber zu verschleiern.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Mi 02.01.2013 | | Autor: | mathaton |
Danke für den Hinweis, ich habe die Verwendbarkeit jenes [mm] \approx [/mm] nun gezeigt, obgleich es bei n->∞ durchaus durch ein Gleichheitszeichen ersetzt werden könnte, denke ich. Stimmen denn meine weiterführenden Überlegungen, die ich im anderen Unterthread (als Frage) dargestellt habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > > Erst einmal aber muss man sich die Differenzierbarkeit
> > > (einschließlich Stetigkeit) in [mm]x_0[/mm] zunutze machen. Es
> > > reicht übrigens rechtsseitige Differenzierbarkeit aus.
> >
> > das steckt in der Aufgabe mit drin: [mm]f: [x_0,x_0+1] \to \IR[/mm]
> > ist quasi per
> > Definitionem genau dann differenzierbar in [mm]x_0\,,[/mm] wenn [mm]f\,[/mm]
> > in [mm]x_0[/mm]
> > rechtsseitig diff'bar ist!
>
> Ja, richtig. Interessant ist doch aber, dass linksseitige
> Differenzierbarkeit gar nicht gefordert ist. Die Aufgabe
> beinhaltet dieses Faktum in der Tat, versucht es aber zu
> verschleiern.
wo wird da was verschleiert? Man könnte deutlicher drauf hinweisen, dem
stimme ich zu, aber "verschleiert"? Verstehe ich gerade nicht (ich steh'
wohl auf'm Schlauch...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Fr 04.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorschlag:
Wegen [mm] f(x_0) \ne [/mm] 0 können wir [mm] f(x_0)>0 [/mm] annehmen (anderenfalls betrachte -f).
Da f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, gibt es ein r [mm] \in [/mm] (0,1] mit: f(x)>0 für x [mm] \in [x_0,x_0+r]
[/mm]
Dann ist [mm] f(x_0+1/n)>0 [/mm] für hinreichend großes n.
Wir setzen g(x):=log(f(x)) für x [mm] \in [x_0,x_0+r].
[/mm]
Für n hinreichend groß ist dann
[mm] log(x_n)= \bruch{g(x_0+1/n)-g(x_0)}{1/n} \to g'(x_0)= \bruch{f'(x_0)}{f(x_0)} [/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Fazit: [mm] x_n \to exp(\bruch{f'(x_0)}{f(x_0)}) [/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 So 06.01.2013 | | Autor: | mathaton |
Wow, vielen Dank! Ihre Antwort hat auch die Logarithmusregeln etwas aufgefrischt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wow, vielen Dank! Ihre Antwort hat auch die
> Logarithmusregeln etwas aufgefrischt.
ich glaub', Du darfst Fred auch duzen (ist gängig hier).
Gruß,
Marcel
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
