Bestimmung der Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Sa 08.07.2006 | | Autor: | mick84 |
| Aufgabe | Die Stammfunktion soll bestimmt werden:
Angegeben ist folgende Funktion:
[mm] f(x)=(x^3+1)^2*6x(x^2+1)^2+6x^2(x^3+1)*(x^2+1)^3
[/mm]
Als Lösung ohne Zwischenschritte wird vom Lehrer sofort angegeben:
[mm] F(x)=(x^3+1)^2(x^2+1)^3
[/mm]
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Die Frage ist wie kommt er ohne weitere Zwischenschritte direkt auf die Stammfunktion? Gibt es hilfreiche Tips um die Stammfunktion solcher Klammertherme zu finden?
Gruß
Michael
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Hallo Michael,
> Die Stammfunktion soll bestimmt werden:
> Angegeben ist folgende Funktion:
> [mm]f(x)=(x^3+1)^2*6x(x^2+1)^2+6x^2(x^3+1)*(x^2+1)^3[/mm]
> Als Lösung ohne Zwischenschritte wird vom Lehrer sofort
> angegeben:
> [mm]F(x)=(x^3+1)^2(x^2+1)^3[/mm]
>
> Die Frage ist wie kommt er ohne weitere Zwischenschritte
> direkt auf die Stammfunktion?
Bilde doch die Ableitung von $F(x)$ und zwar von den einzelnen Faktoren-Klammertermen. Dazu mußt du ja dann die Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel benutzen. Setze erstmal:
[mm]F(x) = \underbrace{\left(x^3+1\right)^2}_{u(x)}\underbrace{\left(x^2+1\right)^3}_{v(x)}[/mm]
...
Der Lehrer hat hier also einfach seine Erfahrung "spielen lassen". Er hat sich den obigen Summenterm von $f$ angeschaut, und erinnerte sich sogleich, daß das der Produktregel der Ableitung (wegen dem '+' entsprechen) könnte. Also die Termstruktur [mm]\red{(\cdot{})}\blue{(\cdot{})} + \blue{(\cdot{})}\red{(\cdot{})}[/mm] läßt doch zumindest diesen Verdacht aufkommen, oder? Jetzt muß man sich nur noch anschauen in welcher Beziehung die einzelnen Faktoren der zwei Summen zueinander stehen, und erkennen, daß einen hier die eigene Intuition nicht getäuscht hat. 
Grüße
Karl
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