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| Aufgabe | Was ist die Stammfunktion der Funktion
f: [0;1] nach R: x auf 0 für x nicht in Q und x auf 1 durch q für x in Q, wenn p durch q x ist und zwar gekürzt? |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Ich habe erst einmal die hingeschrieben, welche Eigenschaften die Stammfunktion haben muss, nämlich, dass ihre Ableitung f ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Was ist die Stammfunktion der Funktion
> f: [0;1] nach R: x auf 0 für x nicht in Q und x auf 1
> durch q für x in Q, wenn p durch q x ist und zwar gekürzt?
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
> Ich habe erst einmal die hingeschrieben, welche
> Eigenschaften die Stammfunktion haben muss, nämlich, dass
> ihre Ableitung f ist.
Du meinst bestimmt die "Dirichlet-Funktion"
$\ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}$
[/mm]
(eingeschränkt auf das Intervall [0;1]).
Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar und hat keine
Stammfunktion F(x) mit F'(x)=f(x).
Allerdings ist sie integrierbar im Sinne eines Lebesgue-Integrals.
Das Ergebnis ist dann allerdings die Nullfunktion.
Nachlesen kannst du dies unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion#Lebesgue-Integrierbarkeit
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 05.04.2009 | | Autor: | hawkingfan |
Es geht wirklich um diese Funktion:
f(x) gleich 0, wenn x irrational ist
f(x) gleich 1/q, wenn x gleich p/q ist und p/q teilerfremd sind
Wie kann ich zeigen, dass diese Funktion im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion integrierbar ist.
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> Es geht wirklich um diese Funktion:
>
> f(x) gleich 0, wenn x irrational ist
>
> f(x) gleich 1/q, wenn x gleich p/q ist und p/q teilerfremd
> sind
>
> Wie kann ich zeigen, dass diese Funktion im Gegensatz zur
> Dirichlet-Funktion integrierbar ist.
Hallo hawkingfan,
Natürlich ist es auch an mir, "sorry" zu sagen, weil ich
deine Aufgabe nicht genau gelesen habe. Bei deiner
Funktion handelt es sich offenbar nicht um die Dirichlet-
Funktion, die so häufig als (Gegen-) Beispiel verwendet
wird, aber immerhin um eine Variation davon.
Doch etwas Wichtiges an meiner Antwort trifft auch
für diese Funktion f zu: sie hat absolut keine
Stammfunktion F mit der Eigenschaft, dass F'(x)=f(x)
für 0<x<1 !
Die Frage nach Integrierbarkeit ist in solchen Fällen
nicht äquivalent zur Frage nach einer Stammfunktion.
Die Dirichletfunktion (mit f(x)=1 für [mm] x\in \IQ) [/mm] ist deshalb nicht
Riemann-integrierbar, weil man die in allen Teilintervallen
einer Zerlegung des Integrationsintervalls zu wählenden
Stützstellen zur Berechnung einer Riemannschen Summe
ebensogut alle irrational oder alle rational wählen könnte
(oder nach Belieben einmal so, einmal so).
Dadurch können die Riemannschen Summen im Prinzip jeden
beliebigen Wert zwischen 0 und 1 annehmen - ein allgemein
gültiger Grenzwert kann deshalb nicht existieren.
Der Unterschied bei der hier gegebenen Funktion f muss
wohl darin gesucht werden, dass es zwar in jedem noch so
kurzen Teilintervall noch beliebig viele rationale Zahlen
gibt - dass aber deren Funktionswerte f(x) trotzdem im
Allgemeinen klein bleiben, weil die "allermeisten" rationalen
Zahlen in [0;1] sehr grosse Nenner q haben.
Im Beweis der Riemann-Integrierbarkeit von f muss es
also um eine quantitative Abschätzung dieses Effekts gehen.
Interessante, aber nicht ganz einfache Aufgabe !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 05.04.2009 | | Autor: | hawkingfan |
Ich muss sagen, dass ich keine Ahnung habe, wie ich da rangehen soll.
Ich würde spontan eigentlich sagen, dass die Funktion nicht Riemann-integrierbar ist, eben genau deshalb.
<eigentlich weiß ich nur, dass f eine Regelfunktion ist, da f an jeder Stelle x den Grenzwert 0 hat: Zu epsilon größer 0 gibt es nämlich nur endlich viele rationale Zahlen p/q mit 1/q größer epsilon . also ist f eine regelfunktion. Kann man damit vielleicht irgendetwas machen. (ich wüsste nicht was, aber...
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> Ich muss sagen, dass ich keine Ahnung habe, wie ich da
> rangehen soll.
> Ich würde spontan eigentlich sagen, dass die Funktion
> nicht Riemann-integrierbar ist, eben genau deshalb.
> <eigentlich weiß ich nur, dass f eine Regelfunktion ist,
> da f an jeder Stelle x den Grenzwert 0 hat: Zu epsilon
> größer 0 gibt es nämlich nur endlich viele rationale Zahlen
> p/q mit 1/q größer epsilon . also ist f eine Regelfunktion.
> Kann man damit vielleicht irgendetwas machen.
Ob die Funktion f wirklich eine Regelfunktion ist
(den Begriff habe ich nur mal kurz nachgeschlagen,
er war mir sonst nicht bekannt), wage ich zu be-
zweifeln. Möglicherweise spielt aber die Konstruktion
geeigneter Regelfunktionen (als Hilfsfunktionen)
im Beweis eine Rolle.
Genau an den angesprochenen Eigenschaften (beschränkte
Anzahl der rationalen Zahlen in einem vorgegebenen
Intervall, für welche [mm] \bruch{1}{q}>\varepsilon) [/mm] hängt aber wohl der ganze
geforderte Beweis. Wie man das Ganze am besten auf
den Punkt bringt, habe ich mir allerdings auch noch
nicht klar gemacht. Ich denke aber mal noch darüber
nach ! Lange her, seit ich mich mit derartigen Fragen
beschäftigte ...
LG
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Hallo hawkingfan,
ich weiss nicht, ob du die weitere Entwicklung deiner Anfrage
auf dem neuen thread mitverfolgt hast, wo ich die Frage
platziert habe: Integrierbarkeit
Auf jeden Fall möchte ich dir empfehlen die Grafiken zu
studieren, zu denen du mich angeregt hast: Grafiken
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Al hat es schon gesagt: diese Funktion hat keine Stammfunktion !
Begründung:
Hier haben wir festgestellt, dass f Riemann - int. ist und
[mm] \integral_{0}^{1}{f(t) dt} [/mm] = 0.
Annahme: f hat auf [0,1] die Stammfunktion F.
Sei x [mm] \in [/mm] [0,1]. Wegen
$ 0 [mm] \le \integral_{0}^{x}{f(t) dt} \le \integral_{0}^{1}{f(t) dt} [/mm] = 0$
ist [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = 0.
Andererseits ist [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = F(x) -F(0).
Damit ist F konstant und somit f = 0 auf [0,1], Widerspruch.
Vielleicht sollte man an dieser Stelle noch deutlich auf etwas hinweisen. Ganz grob:
"Integrierbarkeit eine Funktion f und die Existenz einer Stammfunktion von f haben (zunächst) nichts miteinander zu tun"
In folgendem Sinne:
1. Es gibt integrierbare Funktionen, die keine Stammfunktion besitzen
2. Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen , aber nicht integrierbar sind.
Die beiden genannten Eigenschaften einer Funktion f kommen im Hauptsatz zusammen:
Ist f integrierbar über [a,b] und besitzt f auf [a,b] die Stammfunktion F, so gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b)-F(a)
FRED
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Hallo Fred,
> 1. Es gibt integrierbare Funktionen, die keine
> Stammfunktion besitzen
Klar, wie auch das besprochene Beispiel zeigt.
> 2. Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen , aber
> nicht integrierbar sind.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Das kommt mir doch etwas seltsam vor.
Könntest du dafür ein Beispiel angeben,
damit klar wird, an welche Art von Monstern
du dabei denkst ?
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > 1. Es gibt integrierbare Funktionen, die keine
> > Stammfunktion besitzen
>
> Klar, wie auch das besprochene Beispiel zeigt.
>
> > 2. Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen , aber
> > nicht integrierbar sind.
>
>
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> Das kommt mir doch etwas seltsam vor.
> Könntest du dafür ein Beispiel angeben,
> damit klar wird, an welche Art von Monstern
> du dabei denkst ?
Hallo Al,
von Monster kann nicht die Rede sein: sei
$F(x) := [mm] x^{3/2}sin(1/x)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1] und $F(0) = 0$
Dann ist F auf [0,1] differenzierbar mit
$F'(x) = [mm] \bruch{3}{2}\wurzel{x}sin(1/x) -\bruch{1}{\wurzel{x}}cos(1/x)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1] und $F'(0) = 0$
Setze $f:=F'$ Dann hat $f$ auf [0,1] die Stammfunktion $F$
Setzt man [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n \pi}, [/mm] so ist [mm] |f(x_n)| [/mm] = [mm] \wurzel{n \pi} \to \infty [/mm] ( für n [mm] \to \infty)
[/mm]
$f$ ist also auf [0,1] nicht beschränkt, und somit dort auch nicht Riemann - integrierbar.
Dieses Beispiel dient noch zu mehr: $F$ ist auf [0,1] differenzierbar, da aber $f=F'$ auf [0,1] nicht stetig ist, ist F auf [0,1] nicht stetig differenzierbar.
Grüße FRED
P.S.: noch eine kleine Bemerkung: Der Begriff "Stammfunktion" hat zunächst mit dem Integral nichts zu tun:
Ist $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Intervall und $f: I [mm] \to \IR [/mm] $ eine Funktion, so hat
$f$ auf $I$ eine Stammfunktion :
[mm] \gdw [/mm]
es ex. eine differenzierbare Funktion $F: I [mm] \to \IR [/mm] $ mit: $F'=f$ auf $I$
In diesem Fall schreibt man für eine solche Stammfunktion auch [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}.
[/mm]
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> LG Al
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> > > Es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen,
> > > aber nicht integrierbar sind.
> >
>> Das kommt mir doch etwas seltsam vor.
>> Könntest du dafür ein Beispiel angeben,
>> damit klar wird, an welche Art von Monstern
>> du dabei denkst ?
>
> Hallo Al,
>
> von Monster kann nicht die Rede sein: sei
>
> [mm]F(x) := x^{3/2}sin(1/x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1] und [mm]F(0) = 0[/mm]
>
> Dann ist F auf [0,1] differenzierbar mit
>
> [mm]F'(x) = \bruch{3}{2}\wurzel{x}sin(1/x) -\bruch{1}{\wurzel{x}}cos(1/x)[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] (0,1] und [mm]F'(0) = 0[/mm]
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> Setze [mm]f:=F'[/mm] Dann hat [mm]f[/mm] auf [0,1] die Stammfunktion [mm]F[/mm]
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> Setzt man [mm]x_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n \pi},[/mm] so ist [mm]|f(x_n)|[/mm] =
> [mm]\wurzel{n \pi} \to \infty[/mm] ( für n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> [mm]f[/mm] ist also auf [0,1] nicht beschränkt, und somit
> dort auch nicht Riemann - integrierbar.
Hi Fred,
ich habe mir natürlich gedacht, dass das Gegenbeispiel
von der Art sein müsste, bei der in der Umgebung einer
Stelle, z.B. am Rand des Integrationsintervalls ein nicht
ganz "reguläres" Verhalten vorliegt. Jetzt gehört deine
Funktion F zwar noch eindeutig zu den zähmbaren
Monstern, da sie ja an der Stelle x=0 (wenn man sie
auch noch für negative x definiert hat) nicht nur stetig,
sondern sogar ableitbar ist. Ihre Ableitungsfunktion f
ist schon nicht mehr ganz so brav, indem sie an der
Stelle x=0 nicht stetig, ja sogar echt unstetig (!  )
ist und in der Umgebung von 0 beliebige (auch beliebig
grosse) Werte aus [mm] \IR [/mm] annehmen kann.
Dein Schluss ist dann:
> [mm]f[/mm] ist also auf [0,1] nicht beschränkt, und somit
> dort auch nicht Riemann - integrierbar.
Ist das richtig ? Ich wage doch zu zweifeln. Sofern
man für Riemann-Integrierbarkeit die Beschränkt-
heit voraussetzt, ist es zweifellos und trivialerweise
richtig - aber es gibt doch auch die "uneigentlichen"
Riemannschen Integrale. Und in diesem Sinne ist
auch deine Funktion f auf dem Intervall (0,1]
bzw. [mm] [\,0\,,1] [/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar, mit dem
Ergebnis:
[mm] $\integral_{0}^{1} f(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \limes_{t\downarrow{0}}\integral_{t}^{1} f(x)\,dx\ [/mm] =\ F(1)-F(0)\ =\ sin(1)\ [mm] \approx\ [/mm] 0.84147$
Die Frage, ob die uneigentlichen Riemannschen Integrale
eigentlich nicht Riemannsch seien, überlassen wir dann
lieber den Philosophen oder jenen, die sich für welche
halten ...
Für alle praktischen Bedürfnisse wird doch genügen,
dass z.B.
[mm] \integral_{a}^{b}f(x)\ [/mm] dx = F(b)-F(a)
gilt, so wie es auch bei Funktionen der Fall ist, die
nicht bloss uneigentlich, sondern eigentlich Riemann-
integrierbar sind.
Lieben Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mo 13.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
wenn ich schreibe
> ist also auf [0,1] nicht beschränkt, und somit
> dort auch nicht Riemann - integrierbar
so meine ich natürlich die "eigentliche" Integrierbarkeit.
Was ich mit meinen obigen Ausführungen bezwecken wollte:
Eigentliche Riemann- integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion, haben (zunächst) nichts miteunander zu tun.
Gruß FRED
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