Bestimmung der Streuung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Do 15.04.2010 | | Autor: | joachmed |
Hallo zusammen.
Meine Anliegen ist folgendes: Für einen Versuch habe ich Pilzsporen auskeimen lassen und nach einer gewissen Zeit die Länge der Keimhyphen vermessen. Das habe ich dann dreimal wiederholt (Replicates). Da erstens die Anzahl der Sporen auf jedem Replicate nicht von mir zu beeinflussen ist (schwankt zwischen 30 und 300) die zweitens die Sporen sehr unterschiedliches Wachstumsverhalten zeigen, habe ich die Sporenlängen in Klassen gruppiert und als relative Häufigkeit [mm] h_i [/mm] in einem Histogramm aufgetragen.
Die so erstellten Histogramme der drei Replicates ähneln sich deutlich (was erwartungsgemäß unter gleichen Versuchsbedingungen ist), daher möchte ich sie zu einem Histogramm vereinigen, dass die Mittelwerte der relativen Klassenhäufigkeiten und auch deren Streuung angibt.
Für die Mittelwerte wurde mir zu folgender Formel geraten, da sie die unterschiedlichen Anzahlen der Sporen in den einzelnen Replicates berücksichtigt:
[mm] \bar{X} = \bruch{h_1 + h_2 + h_3}{n_1 + n_2 + n_3} [/mm]
Zur Berechnung der Streuung wurde mir diese Formel empfohlen:
[mm] Varianz = \bruch{1}{(n_1 + n_2 + n_3)^2} \left( \bruch{h_1(n_1-h_1)}{n_1} + \bruch{h_2(n_2-h_2)}{n_2} + \bruch{h_3(n_3-h_3)}{n_3} \right) [/mm]
Leider bringt diese Formel vollkommen utopisch kleine Werte, die einfach nicht die Unterschiede der gemessenen relativen Klassenhäufigkeiten widerspiegeln. Meine Frage lautet daher:
Hat die Formel einen Fehler oder sollte ich die Streuung anders berechnen?
Wenn ich davon ausgehe, dass die relativen Klassenhäufigkeiten als einzelne Werte um einen "wahren Mittelwert" der jeweiligen Klasse normalverteilt streuen, dann könnte ich vielleicht die normale Standardabweichung berechnen (auch wenn meine Anzahl an Wiederholungen mit 3 Replicates gering ist). Andererseits könnte ich mir auch vorstellen, dass jedes Replicate als eigene Stichprobe zählen muss, und ich daher den Standardfehler anwenden muss, denn in einem Buch steht "Die Streuung oder Standardabweichung einer Stichprobenkennwerte-Verteilung wird oft auch als Standardfehler bezeichnet. Ganz speziell sprechen wir bei unserer Verteilung von Stichprobenmittelwerten auch vom Standardfehler des Mittelwertes..."
So, das war´s von meiner Seite aus. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
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> [mm]\bar{X} = \bruch{h_1 + h_2 + h_3}{n_1 + n_2 + n_3}[/mm]
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> Zur Berechnung der Streuung wurde mir diese Formel
> empfohlen:
>
> [mm]Varianz = \bruch{1}{(n_1 + n_2 + n_3)^2} \left( \bruch{h_1(n_1-h_1)}{n_1} + \bruch{h_2(n_2-h_2)}{n_2} + \bruch{h_3(n_3-h_3)}{n_3} \right)[/mm]
Weißt Du, wo die Formel herkommt?
Ich würde jetzt (naiv) einfach mal so ansetzen:
[mm] $Var(X)=\frac1{h}\sum_{i=1}^3 h_i \left(\frac{h_i}{n_i}-\bar X \right)^2$
[/mm]
wobei [mm] $h=\sum_i h_i$.
[/mm]
Das ist die (Maximum-Likelihood) Schätzung für die Varianz, wenn wir einfach annehmen, daß die [mm] $h_i$ [/mm] Sporen, die im i-ten Replicate in der Klasse sind, alle bei ihrer Replicate-Häufigkeit [mm] $\frac{h_i}{n_i}$ [/mm] sitzen.
ciao
Stefan
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