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Bestimmung des Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 06.11.2012
Autor: JohannvFels

Aufgabe
Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte der Folge

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{(n+1)} [/mm]

Ich habe folgendes gerechnet bzw. umgestellt: das [mm] n^{2} [/mm] habe ich ausgeklammert, damit das n im Zähler verschwindet.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{(n+1)} [/mm]

= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})} [/mm]

das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] laufen bei n gegen Unendlich gegen Null, richtig?

Null + Null ist gleich Null, ich denke, das ist korrekt.

Dann steht aber beim Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{0} [/mm] , korrekt?

durch Null teilen geht ja bekanntlich nicht, deshalb würde ich als Lösung schreiben n. d.

die Musterlösung gibt allerdings [mm] \infty [/mm] als Lösung an.

Sehe ich da nur etwas nicht, oder habe ich mich komplett vertan?

Besten Dank für Hinweise!


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Bestimmung des Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Di 06.11.2012
Autor: abakus


> Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte der
> Folge
>  Hallo Leute,
>  
> ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
>  
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}}{(n+1)}[/mm]
>  
> Ich habe folgendes gerechnet bzw. umgestellt: das [mm]n^{2}[/mm]
> habe ich ausgeklammert, damit das n im Zähler
> verschwindet.

Das war zu viel. Klammere nur n aus.
Gruß Abakus

>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{(n+1)}[/mm]
>  
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})}[/mm]
>  
> das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und das [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] laufen bei n
> gegen Unendlich gegen Null, richtig?
>  
> Null + Null ist gleich Null, ich denke, das ist korrekt.

Es wird aber nie ganz Null. Es ist für jedes n sehr klein, bleibt aber positiv.

>  
> Dann steht aber beim Grenzwert: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{0}[/mm]
> , korrekt?
>  
> durch Null teilen geht ja bekanntlich nicht, deshalb würde
> ich als Lösung schreiben n. d.
>  
> die Musterlösung gibt allerdings [mm]\infty[/mm] als Lösung an.
>
> Sehe ich da nur etwas nicht, oder habe ich mich komplett
> vertan?
>  
> Besten Dank für Hinweise!
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Bezug
                
Bezug
Bestimmung des Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Di 06.11.2012
Autor: JohannvFels

Danke erstmal!

Wenn ich nur ein n ausklammere, ergibt sich ja:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(1+1/n)} [/mm]

das 1/n konvergiert dann gegen 0 und der Zähler wird unendlich

geteilt durch 1 ergibt sich dann das richtige Ergebnis, nämlich unendlich. Korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung des Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 06.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

ja, das ist korrekt.

Alternatives Vorgehen:

[mm] \frac{n^2}{n+1}=\frac{n^2-1+1}{n+1}=\frac{n^2-1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)(n-1)}{n+1}+\frac{1}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1} [/mm]

Davon kann man nun leicht Grenzwert bilden:
[mm] \lim_{n\to\infty}n-1+\frac{1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}n-1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=\infty-1+0=\infty [/mm]

Es existiert also kein Grenzwert, sondern die Folge divergiert. Diese Möglichkeit aber nur einmal am Rande.

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung des Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 Di 06.11.2012
Autor: JohannvFels

vielen Dank! Jetzt ist mir alles klar.

Bezug
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