Bestimmung des Konvergenzrad. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 18.06.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius [mm] R\ge0, [/mm] wobei [mm] R=\infty [/mm] zugelassen ist, sowie ein geeignetes [mm] x_{0}\in\IR, [/mm] so dass die Potenzreihe
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(x-2)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}
[/mm]
für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x\in(x_{0}-R,x_{0}+R)=:K [/mm] konvergent und für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] |x-x_{0}|>R [/mm] divergiert.
Untersuche zusätzlich die Konvergenz in den beiden Randpunkten [mm] x_{0}-R [/mm] und [mm] x_{0}+R [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dies war eine Klausuraufgabe aus HMI
Mein Lösungsansatz ist:
Ich weiss, dass beim berchnen des Konvergenzradiuses(KRad) x ausgelassen wird, analog wie in den Übungsaufgaben vermute ich dass der Term so aussehen wird [mm] \bruch{1}{\wurzel{k^2-1}}
[/mm]
kann mir aber an dieser Stelle jemand sagen warum [mm] (x-2)^{k} [/mm] durch 1 ersetzt werden soll, mir ist klar dass wir x suchen bei dem die Reihe konv. bzw. div. also kann in der Vorschrift mit der man das ausrechnet kein x vorkommen aber wiso kann man da zB nicht 0 statt [mm] (x-2)^k [/mm] schreiben, wenn der Ausdruck, der x enthält verschwinden soll?
weiter gehts'
bestimme den KRad:
[mm] |\bruch{\bruch{1}{\wurzel{k^{2}-1}}}{\bruch{1}{\wurtel{(k+1)-1}}}| [/mm] = nach dem kürzen ec. kommt 1 raus
also R=1
K=(-1,1)
Randwertbetrachtung:
setze für x 1 ein
[mm] \bruch{(1-2)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}
[/mm]
nun wende Quotientenkriterum an:
[mm] |\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{(k+1)^{2}-1}}}{\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}}|
[/mm]
dann kommt nach einigen rechenoperationen
[mm] |\bruch{-k}{k}|=1
[/mm]
also für x=1 divergiert die Reihe
nun das selbe mit
x=-1
es kommt 3 raus, also divergiert wieder die Reihe für x=-1
Kleine Zwischenfrage: ist eine Geometrischen Reihe zB [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] eine Sonderform der Potenzreihe oder warum hat sie einen eigenen Namen
und [mm] a_{k} [/mm] wäre 1 was mich wieder zu der Frage oben führt waum x-ausdruck weggelassen wird und an seiner Stelle 1 schreib.
Liege ich mit der Lösung richtig?
bin auch froh, wenn man auch meine Formfehler kommentiert
Und noch erwas, kann mir jeman sagen wo es eine Internetseite gibt wo man viel Aufgaben herbekommt mit Lösungen (am besten noch mit Lösungswegen) zum Analysisbereich, HMI eben, brauche viel Übung, will mich auf Geschwindigkeit trimmen.
Vielen Dank im Voraus
Gruss
Alex
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Hallo Alex,
> Bestimme den Konvergenzradius [mm]R\ge0,[/mm] wobei [mm]R=\infty[/mm]
> zugelassen ist, sowie ein geeignetes [mm]x_{0}\in\IR,[/mm] so dass
> die Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(x-2)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}[/mm]
>
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]x\in(x_{0}-R,x_{0}+R)=:K[/mm] konvergent
> und für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_{0}|>R[/mm] divergiert.
> Untersuche zusätzlich die Konvergenz in den beiden
> Randpunkten [mm]x_{0}-R[/mm] und [mm]x_{0}+R[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
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>
> Dies war eine Klausuraufgabe aus HMI
>
> Mein Lösungsansatz ist:
>
> Ich weiss, dass beim berchnen des Konvergenzradiuses(KRad)
> x ausgelassen wird, analog wie in den Übungsaufgaben
> vermute ich dass der Term so aussehen wird
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^2-1}}[/mm]
>
> kann mir aber an dieser Stelle jemand sagen warum [mm](x-2)^{k}[/mm]
> durch 1 ersetzt werden soll, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Der Konvergenzradius $R$ einer Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ [/mm] berechnet sich üblicherweise auf 2 Arten:
1) Cauchy-Hadamard (ähnlich dem Wurzelkriterium): [mm] $r=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
2) Euler (ähnlich dem QK): [mm] $r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Wieder mit [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] und den Festlegungen wie oben
In beiden Fällen ist die (Potenz-)Reihe konvergent für [mm] $|x-x_0|R$
[/mm]
> mir ist klar dass wir x suchen
> bei dem die Reihe konv. bzw. div. also kann in der
> Vorschrift mit der man das ausrechnet kein x vorkommen aber
> wiso kann man da zB nicht 0 statt [mm](x-2)^k[/mm] schreiben, wenn
> der Ausdruck, der x enthält verschwinden soll?
Bei dir ist einfach [mm] $x_0=2$
[/mm]
>
> weiter gehts'
> bestimme den KRad:
>
> [mm]|\bruch{\bruch{1}{\wurzel{k^{2}-1}}}{\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^{\red{2}}-1}}}|[/mm]
> = nach dem kürzen ec. kommt 1 raus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also R=1
> K=(-1,1)
Obacht, Konvergenzradius 1 bedeutet, dass die Reihe für $|x-2|<1$, also für $1<x<3$, dh. für [mm] $x\in(1,3)$ [/mm] konvergiert!!
Und entsprechend für $|x-2|>1$, also für $x>3$ und für $x<1$ divergiert.
Die Randpunkte sind hier also $x=1$ und $x=3$
>
>
> Randwertbetrachtung:
> setze für x 1 ein
>
> [mm]\bruch{(1-2)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}[/mm]
Also hast du [mm] $\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2-1}}$
[/mm]
>
> nun wende Quotientenkriterum an:
Das ist keine gute Idee ...
>
> [mm]|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{(k+1)^{2}-1}}}{\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k^{2}-1}}}|[/mm]
>
>
> dann kommt nach einigen rechenoperationen
> [mm]|\bruch{-k}{k}|=1[/mm]
>
> also für x=1 divergiert die Reihe ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist ein Trugschluss, das QK liefert für GW 1 keine Aussage.
Hier hast du doch (für $x=1$) eine alternierende Reihe - da bietet sich das Leibnizkriterium doch an ...
>
> nun das selbe mit
> x=-1
> es kommt 3 raus, also divergiert wieder die Reihe für
> x=-1
Das muss ja auch so sein ... für $x<1$ wissen wir ja schon, dass die Reihe divergiert
Der andere Randpunkt ist ja auch $x=3$
Das eingesetzt, ergibt: [mm] $\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}$
[/mm]
Tipp: Vergleichskriterium - die Reihe ist ja "von der Größenordnung" [mm] $\sum\frac{1}{k}$ [/mm] ...
Suche also naheliegend eine div. Minorante ...
>
>
> Kleine Zwischenfrage: ist eine Geometrischen Reihe zB
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] eine Sonderform der Potenzreihe
Das kann man so sehen ...
> oder warum hat sie einen eigenen Namen
k.A.
> und [mm]a_{k}[/mm] wäre 1 was mich wieder zu der Frage oben führt
> waum x-ausdruck weggelassen wird und an seiner Stelle 1
> schreib.
Weil sich der Konvergenzradius einer Potenzreihe halt so berechnet.
Schauen wir das mal näher an:
Nimm an, du hast eine (Potenz-)Reihe [mm] $\sum a_k\cdot{}(x-x_0)^k=:\sum b_k$ [/mm] und möchstest berechnen, für welche x die wohl konvergiert/divergiert
Nehmen wir das normale QK her:
[mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}\cdot{}(x-x_0)^{k+1}}{a_k\cdot{}(x-x_0)^k}\right|=|x-x_0|\cdot{}\blue{\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=|x-x_0|\cdot{}\underbrace{\blue{r}}_{\text{siehe oben bei 1) und 2)}}$
[/mm]
Das QK besagt: (Absolute) Konvergenz für [mm] $|x-x_0|\cdot{}r [/mm] \ < \ 1$, also [mm] $|x-x_0| [/mm] \ < \ [mm] \frac{1}{r}=:\red{R}$
[/mm]
Also genau unser Konvergenzradius von oben
Es genügt also, das rote R zu berechne, also [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] mit [mm] $r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Du kannst also den "x-Term" bei der Berechnung des Konvergenzradius erst einmal außer Acht lassen
>
>
> Liege ich mit der Lösung richtig?
Den Konvergenzradius hast du richtig berechnet, deine Schlüsse daraus waren aber nicht so ganz i.O.
> bin auch froh, wenn man auch meine Formfehler kommentiert
>
> Und noch erwas, kann mir jeman sagen wo es eine
> Internetseite gibt wo man viel Aufgaben herbekommt mit
> Lösungen (am besten noch mit Lösungswegen) zum
> Analysisbereich, HMI eben, brauche viel Übung, will mich
> auf Geschwindigkeit trimmen.
k.A. --> google ?
>
>
> Vielen Dank im Voraus
> Gruss
> Alex
LG
schachuzipus
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