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| Aufgabe | In einer halbkugelförmige Schale mit dem Radius 1 wird ein Stab der Länge 2 gelegt.
Bei welcher Lage des Stabes liegt sein Mittelpunkt am tiefsten?
Wie tief liegt er dann? |
Wie tief liegt er dann?
Um diese Frage geht es.
Hier mein Ansatz:
Ich habe ein Koordinatensystem über die Halbkugel gelegt, die in dieser Rechnung wie ein Kreis fungiert. (2-dimensionale Ansicht)
Der Ursprung liegt so, dass die Nullstellen des Halbkreises (1-/0) und (1/0) sind, das Minimum bei (0/-1) liegt.
Die Funktion heißt somit: [mm] -\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Das Linke Ende des Stabs ist in der Schale und hat die Koordinaten [mm] (x/-\wurzel{1-x^{2}})
[/mm]
Nun habe ich mit Phytagoras eine Gleichung aufgestellt:
m:= Mitte r:= Rechtes Ende des Stabs l:= Linkes Ende des Stabs M:=Steigung
1)
[mm] (X_{m}-X_{l})^{2}+(Y_{m}-Y_{l})^{2}=1
[/mm]
2)
[mm] M=\bruch{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}=\bruch{Y_{m}-Y_{l}}{X_{m}-X_{l}}
[/mm]
[mm] \gdw X_{m}-X_{l} [/mm] = [mm] \bruch{Y_{m}-Y_{l}}{M}
[/mm]
2) eingesetzt in 1) ergibt:
[mm] (\bruch{Y_{m}-Y_{l}}{M})^{2}+(Y_{m}-Y_{l})^{2}=1
[/mm]
Diesen Bruch umgeformt ergibt letztendlich
3) [mm] (Y_{m}-Y_{l})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{M^{2}}{1+M^{2}}
[/mm]
Jetzt kommen wir zu der Stelle wo ich mir nicht sicher bin, dass mein Weg legitim ist.
Und zwar nehme ich an, dass die Koordinaten des rechten Stabs (1/0) sind:
M = [mm] \bruch{Y_{r}-Y_{l}}{X_{r}-X_{l}}, [/mm] und [mm] Y_{r}=0, X_{r}=1
[/mm]
4) M = [mm] \bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{1-x}
[/mm]
Nun setze ich 4) ind 3) ein und erhalte nach einigen Umformungen:
[mm] Y_{m}(x)= \wurzel{\bruch{1+x}{2}}-\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Im Folgenden würde ich nun das Minima von [mm] Y_{m} [/mm] errechnen, wenn ihr meinen Weg hier absegnen könnt^^.
Vielen Dank im voraus,
Heatshawk.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 29.01.2010 | | Autor: | abakus |
> In einer halbkugelförmige Schale mit dem Radius 1 wird ein
> Stab der Länge 2 gelegt.
> Bei welcher Lage des Stabes liegt sein Mittelpunkt am
> tiefsten?
> Wie tief liegt er dann?
> Wie tief liegt er dann?
> Um diese Frage geht es.
> Hier mein Ansatz:
>
> Ich habe ein Koordinatensystem über die Halbkugel gelegt,
> die in dieser Rechnung wie ein Kreis fungiert.
> (2-dimensionale Ansicht)
>
> Der Ursprung liegt so, dass die Nullstellen des Halbkreises
> (1-/0) und (1/0) sind, das Minimum bei (0/-1) liegt.
>
> Die Funktion heißt somit: [mm]-\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Das Linke Ende des Stabs ist in der Schale und hat die
> Koordinaten [mm](x/-\wurzel{1-x^{2}})[/mm]
>
> Nun habe ich mit Phytagoras eine Gleichung aufgestellt:
>
> m:= Mitte r:= Rechtes Ende des Stabs l:= Linkes Ende des
> Stabs M:=Steigung
>
> 1)
> [mm](X_{m}-X_{l})^{2}+(Y_{m}-Y_{l})^{2}=1[/mm]
>
> 2)
>
> [mm]M=\bruch{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}=\bruch{Y_{m}-Y_{l}}{X_{m}-X_{l}}[/mm]
>
> [mm]\gdw X_{m}-X_{l}[/mm] = [mm]\bruch{Y_{m}-Y_{l}}{M}[/mm]
>
> 2) eingesetzt in 1) ergibt:
>
>
> [mm](\bruch{Y_{m}-Y_{l}}{M})^{2}+(Y_{m}-Y_{l})^{2}=1[/mm]
>
> Diesen Bruch umgeformt ergibt letztendlich
>
> 3) [mm](Y_{m}-Y_{l})^{2}[/mm] = [mm]\bruch{M^{2}}{1+M^{2}}[/mm]
>
> Jetzt kommen wir zu der Stelle wo ich mir nicht sicher bin,
> dass mein Weg legitim ist.
> Und zwar nehme ich an, dass die Koordinaten des rechten
> Stabs (1/0) sind:
Du meinst die Koordinaten des rechten Rands der Schale.
>
> M = [mm]\bruch{Y_{r}-Y_{l}}{X_{r}-X_{l}},[/mm] und [mm]Y_{r}=0, X_{r}=1[/mm]
>
> 4) M = [mm]\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{1-x}[/mm]
Das klingt doch gut.
Ich habe dir mal mit Geogebra ein Bild gemalt. Die tiefste Stelle ist nur nach Augenmaß eingestellt; die Anzeige der y-Koordinate des Stabmittelpunkts ist dort (und auch bei geringem wackeln nach links oder rechts) minimal angezeigt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
>
> Nun setze ich 4) ind 3) ein und erhalte nach einigen
> Umformungen:
>
> [mm]Y_{m}(x)= \wurzel{\bruch{1+x}{2}}-\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Im Folgenden würde ich nun das Minima von [mm]Y_{m}[/mm] errechnen,
> wenn ihr meinen Weg hier absegnen könnt^^.
>
> Vielen Dank im voraus,
> Heatshawk.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Fr 29.01.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich habe mal aus Neugier nicht nur die Spur des Stabmittelpunkts, sondern auch die des Endpunkts aufgezeichnet und außerdem aus dem Halbkreis einen Vollkreis gemacht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden Spuren sehen aus wie Zykloiden (weiß aber nicht, ob es wirklich welche sind).
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Komischerweise habe ich Probleme bei der Ableitung.
Ist wohl schon zu lang her^^
[mm] Y_{m}=\wurzel{\bruch{1+x}{2}}-\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Kann jemand bestätigen,dass dieses Teilergebnis richtig ist?
Dann wäre die Ableitung doch:
[mm] \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1+x}{2}}}+\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Um das Minimum zu bestimmen setze ich die Ableitung dann gleich 0.
[mm] \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1+x}{2}}}+\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}=0
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{1-x^{2}} [/mm] + [mm] 4x*\wurzel{\bruch{1+x}{2}} [/mm] = 0
Und wie geht es nun weiter?
Ich sehe gerade nicht wie ich zum Ziel komme =(
Danke im Voraus,
heatshawk
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 31.01.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Kann es sein, dass ich zu folgender Gleichung komme?
8x³+9x²-1=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Kann es sein, dass ich zu folgender Gleichung komme?
>
> 8x³+9x²-1=0
Deine ursprüngliche Gleichung hatte laut wolframalpha die Lösungen -1 und -0,4215.
Siehe http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%28sqrt%281-x%5E2%29%2B4x%2Asqrt%28%281%2Bx%29%2F2%29+
Deine Gleichung dritten Grades hat die gleichen Lösungen, zusätzlich noch eine bei ca. 0,296 (die dann wahrscheinlich durch eine Probe wegfällt).
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 So 31.01.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Aber es muss doch -0,369 rauskommmen oder nicht?
Deswegen meine Zweifel an der Richtigkeit.
So wäre meine Lösung ja Y'(x)=0 /gdw x=-0,4215
Somit wäre die tiefste Stelle des Mittelpunkts des Stabs -0,4215.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Aber es muss doch -0,369 rauskommmen oder nicht?
> Deswegen meine Zweifel an der Richtigkeit.
>
> So wäre meine Lösung ja Y'(x)=0 /gdw x=-0,4215
> Somit wäre die tiefste Stelle des Mittelpunkts des Stabs
> -0,4215.
Hallo,
-0,4125 scheint mir nicht die x-Koordinate des Stabmittelpunkts, sondern die x-Koordinate des linken Stabendes zu sein (während -0,369 tatsächlich y-Koordinate des Stabmittelpunkts in seiner tiefstmöglichen Lage ist).
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 So 31.01.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Ist -0,4215 nicht die Y-Koordinate?
Wie mach ich denn dann weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 So 31.01.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Hat sich erledigt, das Brett ist weg^^
Vielen Dank abakus
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