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| Aufgabe | Sei N := [mm] \pmat{0 &1 \\ 0 & 0} [/mm]
0 0 aus dem Vektoraum V der 2 × 2 Betimmen Sie eine Basis für den Zentralisator von N in V ,definiert als der Teilraum
ZV (N) := {A ∈ V |AN = NA} ⊆ V . |
Hallo miteinander,
ich habe diese Aufgabe zu lösen,mein Ansatz:
ich habe mir eine Matrix [mm] A=\pmat{a & b\\ c & d} [/mm] gedacht, da [mm] \IZ_{v}(N) [/mm] definiert ist durch AN=NA multipliziere ich A mal N;also [mm] AN=\pmat{0 & a\\ 0 & c}.Dann [/mm] AN-NA = [mm] \pmat{-a & a-b\\ 0 & c}, [/mm] aber da hängt ich fest und weiss nicht mehr weiter.
Danke für die Hilfe.
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> Sei N := [mm]\pmat{0 &1 \\ 0 & 0}[/mm]
> 0 0 aus dem Vektoraum V der 2 × 2 Betimmen Sie eine Basis
> für den Zentralisator von N in V ,definiert als der
> Teilraum
> ZV (N) := {A ∈ V |AN = NA} ⊆ V .
> Hallo miteinander,
>
> ich habe diese Aufgabe zu lösen,mein Ansatz:
> ich habe mir eine Matrix [mm]A=\pmat{a & b\\ c & d}[/mm]
> gedacht, da [mm]\IZ_{v}(N)[/mm] definiert ist durch AN=NA
> multipliziere ich A mal N;also [mm]AN=\pmat{0 & a\\ 0 & c}.Dann[/mm]
> AN-NA = [mm]\pmat{-a & a-b\\ 0 & c},[/mm] aber da hängt ich fest
> und weiss nicht mehr weiter.
Hallo,
da AN=NA gefordert ist, muß also AN-NA die Nullmatrix sein, dh.
> AN-NA = [mm] \pmat{-a & a-b\\ 0 & c}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 0\\ 0 & 0}.
[/mm]
Hieraus bekommst Du durch komponentenweisen Vergleich ein LGS mit 4 Gleichungen, dessen Lösungsraum zu bestimmen ist.
Allderdings scheint mir bei der Berechnung v. NA etwas schiefgegangen zu sein.
Gruß v. Angela
> Danke für die Hilfe.
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| Aufgabe 1 | > Sei N := $ [mm] \pmat{0 &1 \\ 0 & 0} [/mm] $
> 0 0 aus dem Vektoraum V der 2 × 2 Betimmen Sie eine Basis
> für den Zentralisator von N in V ,definiert als der
> Teilraum
> ZV (N) := {A ∈ V |AN = NA} ⊆ V .
> Hallo miteinander,
>
> ich habe diese Aufgabe zu lösen,mein Ansatz:
> ich habe mir eine Matrix $ [mm] A=\pmat{a & b\\ c & d} [/mm] $
> gedacht, da $ [mm] \IZ_{v}(N) [/mm] $ definiert ist durch AN=NA
> multipliziere ich A mal N;also $ [mm] AN=\pmat{0 & a\\ 0 & c}.Dann [/mm] $
> AN-NA = $ [mm] \pmat{-a & a-b\\ 0 & c}, [/mm] $ aber da hängt ich fest
> und weiss nicht mehr weiter.
Hallo,
da AN=NA gefordert ist, muß also AN-NA die Nullmatrix sein, dh.
> AN-NA = $ [mm] \pmat{-a & a-b\\ 0 & c} [/mm] $
$ [mm] \pmat{0 & 0\\ 0 & 0}. [/mm] $
Hieraus bekommst Du durch komponentenweisen Vergleich ein LGS mit 4 Gleichungen, dessen Lösungsraum zu bestimmen ist.
Allderdings scheint mir bei der Berechnung v. NA etwas schiefgegangen zu sein.
| Aufgabe 2 | Hallo Angela,
ich verstehe nicht ganz was du mit der Nullvektor meinst, soll das heissen ich muss [mm] \pmat{-a & a-b\\0 & c}=\pmat{0 & 0\\0 & 0} [/mm] setzen? und was meinst du mit der Multiplikation mit dem Vektor v.NA? |
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> Hallo,
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> da AN=NA gefordert ist, muß also AN-NA die Nullmatrix sein,
> dh.
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> > AN-NA = [mm]\pmat{-a & a-b\\ 0 & c}[/mm]
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> [mm]\pmat{0 & 0\\ 0 & 0}.[/mm]
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> Hieraus bekommst Du durch komponentenweisen Vergleich ein
> LGS mit 4 Gleichungen, dessen Lösungsraum zu bestimmen
> ist.
>
> Allderdings scheint mir bei der Berechnung v. NA etwas
> schiefgegangen zu sein.
>
> Hallo Angela,
>
> ich verstehe nicht ganz was du mit der Nullvektor meinst,
Hallo,
"Nullmatrix" sagte ich.
AN=NA ==> AN-NA= Nullmatrix.
> soll das heissen ich muss [mm]\pmat{-a & a-b\\0 & c}=\pmat{0 & 0\\0 & 0}[/mm]
> setzen?
Im Prinzip ja.
> und was meinst du mit der Multiplikation mit dem
> Vektor v.NA?
Du hast NA falsch ausgerechnet, und deshalb stimmt [mm] \pmat{-a & a-b\\0 & c} [/mm] nicht.
Rechne NA nochmal.
Gruß v. Angela
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Hi Angela, ich habe tatsächlich eine Fehler bei NA gemacht. Jetz bekommt ich eher NA = $ [mm] \pmat{c & d\\ 0 & 0} [/mm] $ => AN-NA = [mm] $\pmat{-c & a-d\\ 0 & c}$, [/mm] das ist mir jetz klar. Aber du sprichst auch von einer LGS mit 4 Gleichungen kannst du mir bitte sagen wie ich es bekommen soll?
danke
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Hallo Annie,
> Hi Angela, ich habe tatsächlich eine Fehler bei NA gemacht.
> Jetz bekommt ich eher NA = [mm]\pmat{c & d\\ 0 & 0}[/mm] => AN-NA
> = [mm]\pmat{-c & a-d\\ 0 & c}[/mm], ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") das ist mir jetz klar. Aber du
> sprichst auch von einer LGS mit 4 Gleichungen kannst du mir
> bitte sagen wie ich es bekommen soll?
> danke
Na, es muss ja gelten: [mm] $\pmat{-c & a-d\\ 0 & c}=\pmat{0& 0\\ 0 & 0}$ [/mm]
Du vergleichst also die Matrizen eintragweise, denn 2 Matrizen sind gleich genau dann, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen:
(1) $-c=0$
(2) $a-d=0$
(3) $0=0$
(4) $c=0$
Daraus bestimme nun die Koeffizienten der Matrix $A$
Wie muss die also aussehen, damit das alles so klappt?
Wenn du das hast, nur noch eine Basis angeben und fertig ist die Laube ... 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 16.01.2008 | | Autor: | larafabian |
Danke für die Hilfe
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