Bestimmung einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:38 So 12.04.2009 | | Autor: | matherein |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ungeraden, ganzrationalen Funktionen dritten Grades mit f(3)=3
a) Welche dieser Funktionen besitzen einen Graphen mit waagerechter Wendetangente?
b) Welche dieser Funktionen besitzen ein lokales Maximum? |
Hallo Zusammen,
im Lösungsbuch steht:
Der Ansatz f(x) = 3x³ +bx liefert mit der Bedingung f(3) = 3 z.B. [mm] f_{a}(x) [/mm] = ax³ + (1-9a)*x; [mm] a\not=0
[/mm]
a) Die notwendige Bedingung [mm] f_{a}'(x) [/mm] = 0 für Extremstellen liefert (1): |x| = [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}.
[/mm]
Wie kommt man denn auf diese Betragsfunktion? (Herleitung)
Gruß
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 12.04.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> im Lösungsbuch steht:
> Der Ansatz f(x) = 3x³ +bx liefert mit der Bedingung f(3) =
Da ist ein Tippfehler:
[mm] $f(x)=ax^3 [/mm] +bx$
Der Ansatz, weil die Funktion
1. ganzrational,
2. dritten Grades und
3. ungerade, d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung, sein soll. (deswegen keine Konstante oder [mm] $x^2$ [/mm] Term)
f(3)=3
f(3)=27a+3b=3,
nach b auflösen. Bleibt nur noch 1 Parameter.
> a) Die notwendige Bedingung [mm]f_{a}'(x)[/mm] = 0 für
> Extremstellen liefert (1): |x| =
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}.[/mm]
> Wie kommt man denn auf diese Betragsfunktion?
$f'_a(x)=0$ nach x auflösen, mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Das Ergebnis sollte aber
[mm]\pm\bruch{1}{3a}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}[/mm]
sein (d.h. ein a im Nenner). Tippfehler?
ciao
Stefan
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Hallo Stefan,
stimmt, es sollte eigentlich [mm] $f(x)=ax^3 [/mm] +bx$ lauten. Dieser Term ist allerdings richtig aus dem Buch abgetippt: [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}[/mm]. Also haben die im Buch das a im Nenner vergessen!
[mm]f_{a}'(x)[/mm] = 0 auf [mm] f_{a}(x) [/mm] = ax³+(1-9a)*x angewendet ergibt doch 3ax² + (1-9a) = 0 Wie soll ich darauf die quadratische Gleichung anwenden?
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 12.04.2009 | | Autor: | Blech |
> Hallo Stefan,
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> stimmt, es sollte eigentlich [mm]f(x)=ax^3 +bx[/mm] lauten. Dieser
> Term ist allerdings richtig aus dem Buch abgetippt:
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}[/mm]. Also haben die im
> Buch das a im Nenner vergessen!
> [mm]f_{a}'(x)[/mm] = 0 auf [mm]f_{a}(x)[/mm] = ax³+(1-9a)*x angewendet
> ergibt doch 3ax² + (1-9a) = 0 Wie soll ich darauf die
> quadratische Gleichung anwenden?
Da ist doch ein [mm] $x^2$. [/mm] Und die Gleichung soll 0 sein.
Wie wendest Du denn allgemein auf
[mm] $Ax^2 [/mm] + Bx + C =0$
die Lösungsformel für quadratische Gleichungen an?
Hier ist A=3a, B=0 und C=(1-9a)
ciao
Stefan
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Hallo Stefan,
bei der Anwendung der quadratischen Gleichung bin ich auf: [mm] -\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(-9a+1)} [/mm] gekommen. Weil |x| aber ein Betrag ist, muss ja alles aber positiv in der Gleichung werden.
Warum heißt es dann aber nicht: [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a+1)}?
[/mm]
Danke im Voraus
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 13.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Stefan,
>
> bei der Anwendung der quadratischen Gleichung bin ich auf:
> [mm]-\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(-9a+1)}[/mm] gekommen. Weil |x|
> aber ein Betrag ist, muss ja alles aber positiv in der
> Gleichung werden.
Du müsstest kommen auf x=0 [mm] \pm \wurzel{...}.
[/mm]
Das sind zwei Lösungen mit gleichem Betrag.
Statt [mm] x_1=+\wurzel{...} [/mm] und [mm] x_2=-\wurzel{...} [/mm] schreibt man zusammenfassend [mm] |x|=\wurzel{...}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Warum heißt es dann aber nicht:
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(9a+1)}?[/mm]
>
> Danke im Voraus
> matherein
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Hallo Abakus,
dann müsste die Lösung doch aber lauten: |x| = [mm]-\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(-9a+1)}?[/mm]
Wenn nicht, bitte um Erklärung
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 13.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> dann müsste die Lösung doch aber lauten: |x| =
> [mm]-\bruch{1}{3}\wurzel{3}\wurzel{a(-9a+1)}?[/mm]
Dein rechter Term wäre negativ. Das kann der Betrag einer Zahl nicht.
>
> Wenn nicht, bitte um Erklärung
> matherein
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Hallo Zusammen,
ich schreibe hier Mal meinen ganzen Lösungsweg auf, damit mein Problem deutlich wird:
Die erste Ableitung ist ja: 3ax² + (1-9a) = 0
Darauf wende ich die quadratische Formel an: [mm] \bruch{-b\pm\wurzel{b²-4ac}}{2a}
[/mm]
Einsetzen ergibt:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{-4*3a*(1-9a)}}{2*3a}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm\bruch{\wurzel{-12a*(1-9a)}}{6a}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm-\bruch{\wurzel{12}}{6a} \wurzel{a*(1-9a)}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm-\bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*(-9a+1)}
[/mm]
Kann man auch kürzer schreiben als :
|x| = - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*( - 9a + 1)}
[/mm]
Wieso soll aber nun |x| = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*( 9a - 1)} [/mm] richtig sein? Kann man alles was minus ist plus machen und umgekehrt?
Meine zweite Frage, da die Aufgabe noch weitergeht laut Lösungsbuch:
Die notwendige Bedingung [mm] f_{a}''(x) [/mm] = 0 für Wendepunktstellen liefert (2) : 6ax = 0 bzw. x= 0, da a [mm] \not=0 [/mm] ist.
(1) und (2) sind erfüllt für a(9a-1) = 0 bzw. a = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] (a [mm] \not= [/mm] 0). Wie kommt man denn auf a(9a-1) = 0 und a = [mm] \bruch{1}{9}?
[/mm]
Danke für die Mühe im Voraus.
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 20.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Zusammen,
>
> ich schreibe hier Mal meinen ganzen Lösungsweg auf, damit
> mein Problem deutlich wird:
>
> Die erste Ableitung ist ja: 3ax² + (1-9a) = 0
>
> Darauf wende ich die quadratische Formel an:
Warum???
Da das lineare Glied fehlt, kannst du direkt umformen zu [mm] 3ax^2=9a-1,
[/mm]
jetzt beide Seiten durch 3a teilen...
> [mm]\bruch{-b\pm\wurzel{b²-4ac}}{2a}[/mm]
> Einsetzen ergibt:
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]\pm\bruch{\wurzel{-4*3a*(1-9a)}}{2*3a}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]\pm\bruch{\wurzel{-12a*(1-9a)}}{6a}[/mm]
Warum um Himmels Willen ziehst du jetzt gleich ein Minus aus der Wurzel?
Mit solchen selbst erfundenen Rechenregeln musst du Schiffbruch erleiden.
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]\pm-\bruch{\wurzel{12}}{6a} \wurzel{a*(1-9a)}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]\pm-\bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*(-9a+1)}[/mm]
>
> Kann man auch kürzer schreiben als :
>
> |x| = - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*( - 9a + 1)}[/mm]
>
> Wieso soll aber nun |x| = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{3a} \wurzel{a*( 9a - 1)}[/mm]
> richtig sein? Kann man alles was minus ist plus machen und
> umgekehrt?
>
> Meine zweite Frage, da die Aufgabe noch weitergeht laut
> Lösungsbuch:
>
> Die notwendige Bedingung [mm]f_{a}''(x)[/mm] = 0 für
> Wendepunktstellen liefert (2) : 6ax = 0 bzw. x= 0, da a
> [mm]\not=0[/mm] ist.
>
> (1) und (2) sind erfüllt für a(9a-1) = 0 bzw. a =
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] (a [mm]\not=[/mm] 0). Wie kommt man denn auf a(9a-1) =
> 0 und a = [mm]\bruch{1}{9}?[/mm]
>
> Danke für die Mühe im Voraus.
>
> matherein
>
>
>
>
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Guten Morgen Abakus,
Ich weiß zwar nicht was mir die Gleichung 3ax² = 9a-1 bringt,
durch 3 geteilt ergibt x² = 3a [mm] -\bruch{1}{3a}!? [/mm] Wie soll da
[mm] \bruch{1}{3a}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)} [/mm] rauskommen?
Aber ich habe meinen Fehler glaube ich jetzt entdeckt:
Die erste Ableitung in die Formel für quadratische Gleichungen eingesetzt
ergibt: [mm] \bruch{-0\pm\wurzel{0²-4*3a*(1-9a)}}{2*3a}
[/mm]
wegen dem "-" vor der 0, die vor [mm] \pm [/mm] steht, werden alle folgenden Vorzeichen des Terms -4*3a*(1-9a) gewechelt, was ergibt:
[mm] \bruch{\pm\wurzel{12a*(-1+9a)}}{6a}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{12}}{6a}\wurzel{a*(9a-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3a}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}
[/mm]
Kann mir jemand vielleicht noch meine zweite Frage beantworten?
> Die notwendige Bedingung [mm]f_{a}''(x)[/mm] = 0 für
> Wendepunktstellen liefert (2) : 6ax = 0 bzw. x= 0, da a
> [mm]\not=0[/mm] ist.
>
> (1) und (2) sind erfüllt für a(9a-1) = 0 bzw. a =
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] (a [mm]\not=[/mm] 0). Wie kommt man denn auf a(9a-1) =
> 0 und a = [mm]\bruch{1}{9}?[/mm]
Das wäre nett.
matherein
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Hallo,
> Guten Morgen Abakus,
>
> Ich weiß zwar nicht was mir die Gleichung 3ax² = 9a-1
> bringt,
> durch 3 geteilt ergibt x² = 3a [mm]-\bruch{1}{3a}!?[/mm] Wie soll
> da
> [mm]\bruch{1}{3a}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}[/mm] rauskommen?
Kürze mal nicht direkt, dann siehst du's besser:
[mm] $3ax^2=9a-1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2=\frac{9a-1}{3a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{9a-1}}{\sqrt{3a}}=\pm\frac{1}{\sqrt{3a}}\cdot{}\sqrt{9a-1}=\pm\frac{\red{\sqrt{3a}}}{\red{\sqrt{3a}}\cdot{}\sqrt{3a}}\cdot{}\sqrt{9a-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\pm\frac{1}{3a}\cdot{}\sqrt{3a}\cdot{}\sqrt{9a-1}=....$
[/mm]
>
> Aber ich habe meinen Fehler glaube ich jetzt entdeckt:
>
> Die erste Ableitung in die Formel für quadratische
> Gleichungen eingesetzt
>
> ergibt: [mm]\bruch{-0\pm\wurzel{0²-4*3a*(1-9a)}}{2*3a}[/mm]
>
> wegen dem "-" vor der 0, die vor [mm]\pm[/mm] steht, werden alle
> folgenden Vorzeichen des Terms -4*3a*(1-9a) gewechelt, was
> ergibt:
>
> [mm]\bruch{\pm\wurzel{12a*(-1+9a)}}{6a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{12}}{6a}\wurzel{a*(9a-1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3a}\wurzel{3}\wurzel{a(9a-1)}[/mm]
>
> Kann mir jemand vielleicht noch meine zweite Frage
> beantworten?
> > Die notwendige Bedingung [mm]f_{a}''(x)[/mm] = 0 für
> > Wendepunktstellen liefert (2) : 6ax = 0 bzw. x= 0, da a
> > [mm]\not=0[/mm] ist.
> >
> > (1) und (2) sind erfüllt für a(9a-1) = 0 bzw. a =
> > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] (a [mm]\not=[/mm] 0). Wie kommt man denn auf a(9a-1)
> =
> > 0 und a = [mm]\bruch{1}{9}?[/mm]
Gut, dass du verrätst, was du mit (1) meinst ...
Nach dutzendfachem Hin-und Herscrollen und einem Blick in die Glaskugel, ist aber eine Erklärung gefunden:
Du suchst doch eine waagerechte Wendetangente, also muss [mm] $f_a$ [/mm] im Wendepunkt die Steigung 0 haben.
Dh. es muss [mm] $f_a'(x_w)=0$ [/mm] und [mm] $f_a''(x_w)=0$ [/mm] sein, also nach dem, was oben steht
[mm] $\frac{1}{3a}\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}\sqrt{a(9a-1)}=0$, [/mm] das ist nur dann 0, wenn die Wurzel 0 ist und damit $a(9a-1)=0$ ...
und $6ax=0$ ...
>
> Das wäre nett.
> matherein
>
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mi 22.04.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo Schachuzipus,
jetzt verstehe ich. Dank dir und Abakus.
Gruß
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