Bestimmung einer Galoisgruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $L=\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. [/mm] Bestimme die Galoisgruppe
[mm] $G(L/\IQ)$ [/mm] |
Hallo an alle Mathematiker und einen besonderen Gruß an die Algebraiker,
momentan wiederhole ich so zum Spaß ein wenig Algebra und meine Frage lautet zum einen, wie man die obige Aufgabe löst und zum anderen ob es irgendeine konkrete Vorgehensweise (also eine Art Kochrezept) gibt, an die man sich halten sollte um Galoisgruppen zu bestimmen.
Ich würde mich über eine ausführliche Erklärung zur Bestimmung einer Galoisgruppe sehr freuen.
Ich danke euch bereits einmal für eure Mühen.
Gruß Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Do 22.03.2007 | | Autor: | comix |
Ich kann leider keine vollständige Antwort auf die Frage liefern, aber vielleicht einen Ansatz:
Es geht um die Körpererweiterung [mm] \IQ (\wurzel[]{2}, \wurzel[]{3}, \wurzel[]{5}) \supset \IQ.
[/mm]
Gesucht ist die Galoisgruppe [mm] Aut(\IQ (\wurzel[]{2}, \wurzel[]{3}, \wurzel[]{5}); \IQ), [/mm] d.h. alle Automorphismen auf [mm] \IQ (\wurzel[]{2}, \wurzel[]{3}, \wurzel[]{5}), [/mm] da [mm] \IQ [/mm] Primkörper ist.
[mm] \IQ (\wurzel[]{2}, \wurzel[]{3}, \wurzel[]{5}) [/mm] ist Zerfällungskörper des Polynoms f := [mm] (X^2-2)(X^2-3)(X^2-5) \in \IQ[X] [/mm] .
Für jeden Automorphismen a gilt:
2 = a(2) = [mm] a(\wurzel[]{2}^2) [/mm] = [mm] (a(\wurzel[]{2}))^2, [/mm] also gilt [mm] a(\wurzel[]{2}) \in [/mm] { [mm] \wurzel[]{2}, -\wurzel[]{2} [/mm] }
Ebenso für [mm] \wurzel[]{3} [/mm] und [mm] \wurzel[]{5}.
[/mm]
Es gibt demnach 8 Automorphismen: {id, [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7} [/mm] }
Für alle gilt: [mm] a_{1}^2 [/mm] = [mm] a_{2}^2 [/mm] = [mm] a_{3}^2 [/mm] = [mm] a_{4}^2 [/mm] = [mm] a_{5}^2 [/mm] = [mm] a_{6}^2 [/mm] = [mm] a_{7}^2 [/mm] = id
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