Bestimmung eines Eigenvektors < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe morgen eine Mathe-Klausur und versuch gerade die alten Klausuren der Vorjahre durchzurechnen.
Vllt kann einer von euch mir bei einer Aufgabe weiterhelfen.
Die Aufgabenstellung:
"Gesucht ist eine reelle symmetrische (2x2) Matrix M. Gegeben sind ihr Eigenwerte [mm] a_1=3 [/mm] und [mm] a_2=1. [/mm] Der Eigenvektor zu [mm] a_1 [/mm] ist [mm] c_1= \frac{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. [/mm] Ermitteln Sie den normierten Eigenvektor zu [mm] a_2 [/mm] und begrnden Sie Ihre Vorgehensweise."
Wär echt super, wenn ihr mir schnell helfen könntet.
Vielen Dank schonmal.
Grüße
Franz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Franz!
> ich habe morgen eine Mathe-Klausur und versuch gerade die
> alten Klausuren der Vorjahre durchzurechnen.
> Vllt kann einer von euch mir bei einer Aufgabe
> weiterhelfen.
> Die Aufgabenstellung:
> "Gesucht ist eine reelle symmetrische (2x2) Matrix M.
> Gegeben sind ihr Eigenwerte [mm]a_1=3[/mm] und [mm]a_2=1.[/mm] Der
> Eigenvektor zu [mm]a_1[/mm] ist [mm]c_1= \frac{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.[/mm]
> Ermitteln Sie den normierten Eigenvektor zu [mm]a_2[/mm]
Das ist aber eine schlecht gestellte Aufgabe: den normierten Eigenvektor gibt es nicht. Es gibt mindestens zwei (du kannst ihn mit $-1$ multiplizieren)...
> und
> begrnden Sie Ihre Vorgehensweise."
Das laeuft auf ein lineares Gleichungssystem heraus. Die Matrix ist von der Form $A = [mm] \pmat{ a & b \\ b & c}$ [/mm] (da symmetrisch). Jetzt hast du einmal die Gleichung $A [mm] c_1 [/mm] = [mm] a_1 c_1$; [/mm] setze [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $c_1$ [/mm] ein und du erhaelst zwei Gleichungen.
Dann hast du noch weitere Infos: Das charakteristische Polynom der Matrix ist $(x - [mm] a_1) [/mm] (x - [mm] a_2) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] x + [mm] a_1 a_2$. [/mm] Das kannst du ausrechnen, und du kannst das char. Polynom von der Matrix $A$ ausrechnen. Jetzt machst du einen Koeffizientenvergleich, was dir ein paar neue Gleichungen liefert.
Jetzt schreibst du alle Gleichungen, die du hast, zusammen und rechnest die Koeffizienten der Matrix $A$ aus. Dann bestimmst du den Eigenraum zum Eigenwert [mm] $a_2$ [/mm] und findest einen normierten Basisvektor.
LG Felix
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> Hallo Franz!
> Das ist aber eine schlecht gestellte Aufgabe: den
> normierten Eigenvektor gibt es nicht. Es gibt mindestens
> zwei (du kannst ihn mit [mm]-1[/mm] multiplizieren)...
Naja, Chemiker habens eben nich so mit der Mathematik ;)
>
> Das laeuft auf ein lineares Gleichungssystem heraus. Die
> Matrix ist von der Form [mm]A = \pmat{ a & b \\ b & c}[/mm] (da
> symmetrisch). Jetzt hast du einmal die Gleichung [mm]A c_1 = a_1 c_1[/mm];
> setze [mm]a_1[/mm] und [mm]c_1[/mm] ein und du erhaelst zwei Gleichungen.
Also ich komm dann auf die folgenden 2 Gleichungen:
[mm] 3a+3b=\frac{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] 3b+3c=\frac{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Ist das so richtig?
> Dann hast du noch weitere Infos: Das charakteristische
> Polynom der Matrix ist [mm](x - a_1) (x - a_2) = x^2 - (a_1 + a_2) x + a_1 a_2[/mm].
Woher entnehm ich denn die Infos??
Auf die Gleichung wär ich nie gekommen..
> Das kannst du ausrechnen, und du kannst das char. Polynom
> von der Matrix [mm]A[/mm] ausrechnen. Jetzt machst du einen
> Koeffizientenvergleich, was dir ein paar neue Gleichungen
> liefert.
Wenn ich das nun ausrechne komm ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] x^2-4x+3
[/mm]
hm.. und nun?
Wo soll ich denn da einen Koeffizientenvergleich machen?
So ganz versteh ich nicht, was mir das bringen soll
>
> Jetzt schreibst du alle Gleichungen, die du hast, zusammen
> und rechnest die Koeffizienten der Matrix [mm]A[/mm] aus. Dann
> bestimmst du den Eigenraum zum Eigenwert [mm]a_2[/mm] und findest
> einen normierten Basisvektor.
>
> LG Felix
>
Und wie bestimme ich einen Eigenraum? Wir hatten bisher immer nur die Bestimmtung von Eigenwerten und Eigenvektoren..
Danke für deine Antwort! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Franz!
> > Das laeuft auf ein lineares Gleichungssystem heraus. Die
> > Matrix ist von der Form [mm]A = \pmat{ a & b \\ b & c}[/mm] (da
> > symmetrisch). Jetzt hast du einmal die Gleichung [mm]A c_1 = a_1 c_1[/mm];
> > setze [mm]a_1[/mm] und [mm]c_1[/mm] ein und du erhaelst zwei Gleichungen.
>
> Also ich komm dann auf die folgenden 2 Gleichungen:
> [mm]3a+3b=\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]3b+3c=\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein. Die Gleichung $A [mm] c_1 [/mm] = [mm] a_1 c_1$ [/mm] lautet ja gerade [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ a & b \\ b & c } \pmat{1 \\ 1} [/mm] = 3 [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{1 \\ 1}$, [/mm] oder vereinfacht und gekuerzt [mm] $\pmat{a + b \\ b + c} [/mm] = [mm] \pmat{3 \\ 3}$. [/mm] Also hast du die zwei Gleichungen $a + b = 3$ und $b + c = 3$.
> > Dann hast du noch weitere Infos: Das charakteristische
> > Polynom der Matrix ist [mm](x - a_1) (x - a_2) = x^2 - (a_1 + a_2) x + a_1 a_2[/mm].
>
> Woher entnehm ich denn die Infos??
Die Eigenwerte bestimmst du ja, indem du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausrechnest. Und die Eigenwerte sind hier [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$, [/mm] also muss das charakteristische Polynom genau da Nullstellen haben (mit einfacher Vielfachheit). Und das einzige normierte Polynom von Grad 2, was das tut, ist $(x - [mm] a_1) [/mm] (x - [mm] a_2)$.
[/mm]
> Auf die Gleichung wär ich nie gekommen..
>
> > Das kannst du ausrechnen, und du kannst das char. Polynom
> > von der Matrix [mm]A[/mm] ausrechnen. Jetzt machst du einen
> > Koeffizientenvergleich, was dir ein paar neue Gleichungen
> > liefert.
>
> Wenn ich das nun ausrechne komm ich auf folgendes
> Ergebnis:
> [mm]x^2-4x+3[/mm]
> hm.. und nun?
Es ist [mm] $x^2 [/mm] - 4 x + 3 = (x - a) (x - c) - [mm] b^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - (a + c) x + (a c - [mm] b^2)$ [/mm] (das rechts ist das char. Poly. von $A$). Koeffizientenvergleich liefert nun die Gleichungen $a + c = 4$ und $a c - [mm] b^2 [/mm] = 3$.
> Wo soll ich denn da einen Koeffizientenvergleich machen?
> So ganz versteh ich nicht, was mir das bringen soll
>
> >
> > Jetzt schreibst du alle Gleichungen, die du hast, zusammen
> > und rechnest die Koeffizienten der Matrix [mm]A[/mm] aus. Dann
> > bestimmst du den Eigenraum zum Eigenwert [mm]a_2[/mm] und findest
> > einen normierten Basisvektor.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Und wie bestimme ich einen Eigenraum? Wir hatten bisher
> immer nur die Bestimmtung von Eigenwerten und
> Eigenvektoren..
Der Eigenraum ist der Vektorraum, der von den Eigenvektoren erzeugt wird. Bestimm also die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $a_2$, [/mm] wie du das sonst auch immer gemacht hast 
LG Felix
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Hallo Felix!
Jetzt versteh ich das!!
:D *freu*
Also ich hab meine Gleichungen:
a+b=3 --> b=3-a
b+c=3 --> c=3-b
Und wenn man nun die beiden letzten Gleichungen miteinander in Bezug setzt bekommt man:
c=3-3+a =a
Die Gleichung [mm] (x-a_1)(x-a_2) [/mm] hab ich nun auch verstanden.
[mm] x^2-4x+3=(x-a)(x-c)-b^2
[/mm]
Der hintere Teil kommt dann einfach, wenn man die Matrix nach der Regel von Sarrus auflöst, dabei beachtet man, dass jeweils die Zahlen in der Diagonalen von x abgezogen werden müssen, da ja hier wieder die Nullstellen gesucht werden.
dann löst man die Gleichung einfach auf:
[mm] x^2-4x+3=x^2-x(a+c)+(ac-b^2)
[/mm]
und der Koeffizienten vergleich ist ja dann klar.
Also kommt man auf die Gleichungen:
a+c=4
[mm] ac-b^2=3
[/mm]
Dann kann man c=a und b=3-a einsetzen und kommt auf:
[mm] a^2-9-6a-a^2=3
[/mm]
--> a=2 damit ist c=2 und b=1
Daraus ergibt sich dann meine Matrix M.
Und daraus lässt sich dann alles weitere berechnen :)
Stimmt das alles so, wie ichs verstanden hab?
Vielen Dank für deine Hilfe!! :D
Viele Grüße
Franz
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