Bestimmung erstes Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 29.07.2006 | | Autor: | peder |
| Aufgabe | Betrachten Sie auf U = {(u,v) [mm] \in \IR^2 [/mm] : u,v > 0} die beiden Vektorfelder
X(u,v) = (v,-u), Y(u,v) = (0,v).
Finden Sie erste Integrale von X, Y und geben Sie mit ihrer Hilfe eine Karte x: V [mm] \subset \IR^2 \to [/mm] U an, deren Koordinatenlinien tangential an X, bzw. Y sind. |
Hallo liebe Crew,
vielleicht kann mir jemand (verständlich  ) erklären, wie ich das jeweilige erste Integral bestimme. Wie findet man allgemein ein erstes Integral zu einem gegebenen Vektorfeld?
Ich schreibe am Di Klausur und es ist sehr wahrscheinlich, dass so was dran kommt. Wäre also super, wenn mir jemand auf die Schnelle und verständlich erklärt, wie man das macht.
Ich sag schon mal danke,
Gruß,
Dennis
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Sa 29.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich nehm an mit 1. Integralen ist gemeint die Lösung von :
[mm] \vektor{u(t) \\ v(t)}'= \vektor{v \\ -u} [/mm] X ist wie du leicht siehst eine 90° Drehung also hast du die Lösung u=rcost,v=rsint Tangentenkarte sind Kreise r=cons um 0 Punkt.
Das zweite kannst du jetzt sicher.u'=0 v'=v kannst du doch lösen!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:48 So 30.07.2006 | | Autor: | peder |
Hallo leduart,
erstmal danke für deine schnelle Antwort. Das hört sich ganz gut an, allerdings habe ich inzwischen die Musterlösung bzw. den Lösungshinweis für die Aufgabe bekommen. Und der sieht etwas anders aus. Allerdings werde ich nicht ganz schlau daraus. Kannst du (oder jemand anderer) mir das erklären? - es ist wirklich bitter, wenn man die Lösung hat, aber diese nicht versteht :-(.
Hier also die Lösung, wie sie angegeben ist (der erste Teil):
f: U [mm] \to \IR, [/mm] f(u,v) [mm] =u^2+v^2 [/mm] ist erstes Integral von X:
df(u,v) X(u,v) = < [mm] \vektor{2u \\ 2v}, \vektor{v \\ -u}> [/mm] =0 und df(u,v) [mm] \not=0, [/mm] für alle (u,v) [mm] \in [/mm] U (0,0) [mm] \not\in [/mm] U!!
und
g: U [mm] \to \IR, [/mm] g(u,v) =ug ist erstes Integral von Y:
dg(u,v) Y(u,v) = < [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0\\ v}> [/mm] =0 und dg(u,v) [mm] \not=0, [/mm] für alle (u,v) [mm] \in [/mm] U
Also ich vermute, dass man davon ausgeht, dass der gradient des gesuchten erstn Integral senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Also ein [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] sucht, der skalar mit dem Vektor des Vektorfeldes multipliziert 0 ergibt (da dann ja senkrecht) und diesen Vektor dann aufintegriert. Aber ich bin mir eben nicht sicher. Ich hätte es nämlich auch wie leduart versucht. Sprich gesagt u´=v und v´=-u und mir dann eben eine Funktion (Funktionen) überlegt, die das erfüllt (dachte dabei dann auch an irgendwas mit sin bzw. cos) (im ersten Fall). Aber aus der "Musterlösung" werde ich wie gesagt nicht wirklich schlau! Also, wenn sich nochmal jemand erbarmen könnte!
Gruß, dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 01.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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