Bestimmung orthogonaler Vektor < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 07.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | | Es ist ein zum gegeben Vektor (2,3,4) ein orthogonaler Vektor der Länge 4 anzugeben. |
Ich habe 2 Ansätze zur Lösung:
1) Um die Orthogonalität zu gewährleisetn, muss das Skalarprodukt 0 sein.
Also: 2*x+3*y+4*z=0
2) Bezüglich der Länge muss der Betrag ders orthog. Vektors 4 sein.
Also: [mm] \wurzel[2]{x²+y²+z²}=4 [/mm] --> folglich: x²+y²+z²=16
Meine Idee wäre nun, ein Gleichungssystem aus beiden Gleichungen zu bilden- allerdings scheitere ich daran, dass die Gleichung aus 2) nicht linear ist.
Gibt es eine andere Formel und muss ich einen ganz anderen Weg wählen?
Über Hilfe freut sich:
s.h.
|
|
| |
|
Hallo sa_ho!
Ermittle Dir zunächst aus $2*x+3*y+4*z \ = \ 0$ einen beliebigen Vektor [mm] $\left|\vec{n}\right|$ [/mm] , indem Du z.B. $y \ = \ z \ = \ 1$ wählst.
Anschließend dann diesen Vektor durch die Länge [mm] $\left|\vec{n}\right|$ [/mm] teilen und mit $4_$ multiplizieren.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Do 07.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
Danke für die schnelle Antwort! Hier mein Lösungsweg:
1) aus der Gleichung 2x+3y+4z=0 ergibt sich für (z.B.) y=z=1 --> x = -3,5
2) beliebig gewählter Vektor ist [mm] \vec{n}=(-3,5,1,1) [/mm]
3) die Länge beträgt [mm] \wurzel[2]{-3,5²+1²+1²}=\wurzel[2]{14,25}
[/mm]
4) der beliebig gewählte Vektor wird durch seine Länge geteilt (um Länge 1 zu erhalten) und mit der gewünschten Länge 4 multipliziert.
also: (-3,5,1,1) * [mm] \bruch{4}{\wurzel[2]{14,25}}
[/mm]
5) es ergibt sich der (ein) gesuchte orthonale Vektor
...
Durch Bildung des Skalarproduktes und Betrag in der Probe bestätigt sich die "Richtigkeit".
Hoffe, ich hab alles richtig verstanden - Danke!
|
|
|
| |
|
Ich denke Du tust besser daran, zuerst einmal eine (nicht-triviale) Lösung der einen Gleichung [mm]2x+3y+4z=0[/mm] zu bestimmen (dazu darfst Du zwei der drei Variablenwerte willkürlich wählen). Dann hast Du erst einmal einen Vektor
[mm]\vec{n}=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm],
der auf dem gegebenen Vektor senkrecht steht. Nun streckst Du, in einem zweiten Schritt, diesen Vektor [mm]\vec{n}[/mm] noch auf die gewünschte Länge: [mm]\frac{4}{|\vec{n}|}\vec{n}[/mm].
Die Lösung dieser Aufgabe ist natürlich nicht eindeutig: es gibt unendlich viele Lösungen, die man alle als Funktion zweier freier Parameter (zum Beispiel: y,z oder x,z oder x,z), von denen aber nicht beide gleichzeitig 0 sein dürfen, angeben könnte...
|
|
|
|
