Bestimmung von Funktionsgleich < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Di 07.12.2004 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich soll die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades bestimmen, die in W(-1/-2) einen Wendepunkt und in H(-2/0) ein Maximum hat.
Ich habe versucht das Gleichungssystem aufzustellen leider weiss ich nicht wie ich dann weiter machen soll.
1. f(-2)=-8a3+4a2-2a1+a0=0
2. f'(-2)=-12a3-4a2+a1=0
3. f(-1)=-a3+a2-a1+a0=-2
4.f''(-1)=-6a3+2a2=0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
Tobi15
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:22 Di 07.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Tobi15
Dein Ansatz hat gute Ideen. Möglicherweise ist Dir nicht ganz klar, wie Du die Werte einsetzen sollst. Hier eine mögliche Lösung:
1) Ganzrationalen Funktion 3. Grades :
f(x) = [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] / Ableitungen:
f'x) = [mm] 3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f"(x)= 6ax+2b
Nun setzen wir die Eigenschaften des Wende- und Hochpunktes um und setzen jeweils die x- und y- bzw y'- bzw y"-Werte ein:
2) W(-1/-2) [mm] \Rightarrow [/mm]
I. f(-1)=-2: -a+b-c+d=-2
W ist ein "ganz normaler" Punkt der Funktion
II. f"(-1)=0: -6a+2b=0
W ist Wendepunkt
3) H(-2/0) "Hochpunkt) [mm] \Rightarrow
[/mm]
III. f(-2)=0: -8a+4b-2c+d=0
H ist ein "ganz normaler" Punkt der Funktion
IV. f'(-2)=0: 12a-4b+c=0
H hat eine waagrechte Tangente
Nun müssen wir alle vier Gleichungen lösen und a,b,c und d bestimmen:
I -a+b-c+d = -2
II -6a+2b = 0
III -8a+4b-2c+d = 0
IV 12a-4b+c = 0
d eliminieren:
I-III:
V 7a-3b+c=-2
dann c eliminieren
IV 12a-4b+c=0
V-IV:
VI -5a+ b =-2
bleibt noch:
II -6a+2b =0 / halbieren
II:2
VII -3a+ b =0
VI-VII
-2a=-2 [mm] \Rightarrow [/mm] a=1
VII b=3a [mm] \Rightarrow [/mm] b=3
V c = 3b-7a [mm] \Rightarrow [/mm] c=2
I d=-2+a-b+c [mm] \Rightarrow [/mm] d=-2
Die Gleichung lautet nun: f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] + 2x - 2
Viele Grüsse
dominik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo dominik,
danke für die schnelle Antwort: Es gibt allerdings meiner Meinung einen kleinen Fehler in der Rechnung.
c muss o anstatt 2 sein, da V. 7a-3b+C=-2
weil a=1 b=3 ist ergibt sich dann => C=-2-7+9
c= 0
Dei Funktionsgleichung müsste dann F(x)=x³+3x²-4 sein.
Gruß
Tobi
|
|
|
|
