Bestimmung von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Bstealth |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] a_{n}:=\bruch{15n^{2}-12n^{4}+2012}{2n^{4}+3n^{3}-4n}
[/mm]
[mm] b_{n}:=e^{n^5+5}*e^{-5n}
[/mm]
[mm] c_{n}:=\wurzel{n(n+3)}-n
[/mm]
[mm] d_{n}:=(\bruch{\pi}{3})^{n}+(3-\pi)^{n} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Überprüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n} [/mm] |
[mm] a_{n}=\bruch{\bruch{15}{n^2}-12+\bruch{2012}{n^4}}{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^3}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0-12+0}{2+0-0}=-\bruch{12}{2}=-6
[/mm]
[mm] c_{n}=\bruch{\wurzel{n(n+3)}-n*\wurzel{n(n+3)}+n}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{n^{2}+3n-n^{2}}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{n^{2}(1+\bruch{3}{n})}+n}=\bruch{3n}{n*\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+n}=\bruch{3}{\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{\wurzel{1+0}+1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
Die beiden Teilaufgaben waren noch einfach, bei den anderen beiden bekomme ich keinen Ansatz hin, ebenso für die Konvergenzaufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Bstealth ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]a_{n}:=\bruch{15n^{2}-12n^{4}+2012}{2n^{4}+3n^{3}-4n}[/mm]
> [mm]b_{n}:=e^{n^5+5}*e^{-5n}[/mm]
> [mm]c_{n}:=\wurzel{n(n+3)}-n[/mm]
> [mm]d_{n}:=(\bruch{\pi}{3})^{n}+(3-\pi)^{n}[/mm]
> Überprüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n}[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{15}{n^2}-12+\bruch{2012}{n^4}}{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^3}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0-12+0}{2+0-0}=-\bruch{12}{2}=-6[/mm]
Ergebnis richtig; du verwendest aber das Limeszeichen
falsch und solltest in der Zeile die noch fehlenden Limeszeichen
ergänzen !
> [mm]c_{n}=\bruch{\wurzel{n(n+3)}-n*\wurzel{n(n+3)}+n}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{n^{2}+3n-n^{2}}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{n^{2}(1+\bruch{3}{n})}+n}=\bruch{3n}{n*\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+n}=\bruch{3}{\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{\wurzel{1+0}+1}=\bruch{3}{2}[/mm]
Dito.
Anstatt das Limeszeichen durch die ganze Rechnung
durchzuschleppen, würde es hier Sinn machen, zuerst
die gesamte Umformung von [mm] c_n [/mm] durchzuführen und
dann in einer neuen Zeile zum Limes überzugehen:
[mm]c_{n}=\bruch{\wurzel{n(n+3)}-n*\wurzel{n(n+3)}+n}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{n^{2}+3n-n^{2}}{\wurzel{n(n+3)}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{n^{2}(1+\bruch{3}{n})}+n}=\bruch{3n}{n*\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+n}=\bruch{3}{\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+1}[/mm]
[mm] $\limes_{n\to\infty}(c_n)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{\wurzel{1+\bruch{3}{n}}+1}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{3}{\wurzel{1+0}+1}=\bruch{3}{2}$
[/mm]
Den Ausdruck für [mm] b_n [/mm] kann man als eine einzige
e - Potenz schreiben.
Bei [mm] d_n [/mm] lohnt es sich, zuerst die beiden Summanden
separat auf Konvergenz zu prüfen.
Für die Reihe würde ich eine Betrachtung mit dem
Majorantenkriterium vorschlagen. Ich hoffe, dass dir
dieses Stichwort einen ersten Anstoß zur Lösung gibt.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Bstealth |
$ [mm] b_{n}:=e^{n^5+5}\cdot{}e^{-5n} [/mm] $
Ich hoffe jetzt hab ichs.
$ [mm] b_{n}:=e^{n^5+5}\cdot{}e^{-5n} [/mm] $ [mm] =e^{n^5-5n+5}
[/mm]
[mm] e_{n}:=n^{5}-5n+5=n^{5}(1-\bruch{5}{n^4}+\bruch {5}{n^5})
[/mm]
Neue Zeile richtig? 
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{e_{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n^{5}\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{5}{n^4}+\bruch {5}{n^5})=\limes_{n\rightarrow\infty}n^{5}(1-0+0) \to \infty
[/mm]
Also ist
$ [mm] b_{n}:=e^{n^5+5}\cdot{}e^{-5n} [/mm] $ [mm] =e^{n^5-5n+5}\approx e^{n^5}
[/mm]
Und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{n^5}\to\infty. [/mm] Richtig?
Zu [mm] \pi [/mm] sei gesagt, es ist für die Aufgabe nur definiert als klein wenig größer als 3.
$ [mm] d_{n}:=(\bruch{\pi}{3})^{n}+(3-\pi)^{n} [/mm] $
[mm] f_{n}:=(\bruch{\pi}{3})^{n}
[/mm]
[mm] x^{n}\to0 [/mm] für |x|<1
[mm] |\bruch{\pi}{3}|>1 [/mm] also folgt daraus
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}:=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\pi}{3})^{n}\to\infty
[/mm]
[mm] g_{n}:=(3-\pi)^{n}
[/mm]
[mm] x^{n}\to0 [/mm] für |x|<1
[mm] |(3-\pi)|<1 [/mm] daraus folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g_{n}:=\limes_{n\rightarrow\infty}(3-\pi)^{n}=0
[/mm]
Also besteht
$ [mm] d_{n}:=(\bruch{\pi}{3})^{n}+(3-\pi)^{n} [/mm] $
aus einer divergenten Teilfolge [mm] f_{n} [/mm] und einer Nullfolge [mm] g_{n}. [/mm] Daher divergiert die gesamte Folge.
Zur Konvergenz der Reihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n} [/mm] $
Ich lass mal die Zwischenschritte raus. Am Ende hab ich [mm] (-\bruch{9}{10}-\bruch{1}{n})^n [/mm] raus.
Als Majorante bietet sich doch die Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] an, oder?
Diese konvergiert gegen e.
[mm] a_{n}:=(-\bruch{9}{10}-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] b_{n}:=(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] 0\le a_{n}\le b_{n}, [/mm] wenn [mm] b_{n} [/mm] konvergiert, dann konvergiert [mm] a_{n} [/mm] absolut.
Daher muss die Reihe absolut konvergieren, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bstealth!
Bitte poste in Zukunft derartig unterschiedliche Aufgaben auch in separaten Threads, danke.
> Zur Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n}[/mm]
Das soll bestimmt [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} (...)^{n}[/mm] lauten, oder?
Anderenfalls macht die Aufgabe wenig Sinn.
> Ich lass mal die Zwischenschritte raus.
> Am Ende hab ich [mm](-\bruch{9}{10}-\bruch{1}{n})^n[/mm] raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das lässt sich dann auch noch weiter umformen zu: [mm] $(-1)^n*\left(\bruch{9}{10}\right)^n*\left(1+\bruch{\bruch{10}{9}}{n}\right)^n$ [/mm] .
> Als Majorante bietet sich doch die Folge
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] an, oder?
> Diese konvergiert gegen e.
Damit ist diese Majorante sinnlos. Wegen [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] \ = \ e \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ , gilt auch:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \infty$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 27.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Bstealth!
>
>
> Bitte poste in Zukunft derartig unterschiedliche Aufgaben
> auch in separaten Threads, danke.
>
>
> > Zur Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n}[/mm]
>
> Das soll bestimmt [mm]%5Csumme_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cred%7B%5Cinfty%7D%7D%20(...)%5E%7Bn%7D[/mm]
> lauten, oder?
> Anderenfalls macht die Aufgabe wenig Sinn.
>
>
> > Ich lass mal die Zwischenschritte raus.
> > Am Ende hab ich [mm](-\bruch{9}{10}-\bruch{1}{n})^n[/mm] raus.
Leibniz !!!
Gruß Abakus
>
>
>
> Das lässt sich dann auch noch weiter umformen zu:
> [mm](-1)^n*\left(\bruch{9}{10}\right)^n*\left(1+\bruch{\bruch{10}{9}}{n}\right)^n[/mm]
> .
>
>
> > Als Majorante bietet sich doch die Folge
> > [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] an, oder?
> > Diese konvergiert gegen e.
>
> Damit ist diese Majorante sinnlos. Wegen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n \ = \ e \ \not= \ 0[/mm] , gilt
> auch:
>
> [mm]%5Csumme_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_n%20%5C%20%5Clongrightarrow%20%5C%20%5Cinfty[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Bstealth!
>
>
> Bitte poste in Zukunft derartig unterschiedliche Aufgaben
> auch in separaten Threads, danke.
>
>
> > Zur Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{n} (\bruch{-9n-10}{10n})^{n}[/mm]
>
> Das soll bestimmt [mm]\summe_{n=1}^{\red{\infty}} (...)^{n}[/mm]
> lauten, oder?
> Anderenfalls macht die Aufgabe wenig Sinn.
>
>
> > Ich lass mal die Zwischenschritte raus.
> > Am Ende hab ich [mm](-\bruch{9}{10}-\bruch{1}{n})^n[/mm] raus.
>
>
>
> Das lässt sich dann auch noch weiter umformen zu:
> [mm](-1)^n*\left(\bruch{9}{10}\right)^n*\left(1+\bruch{\bruch{10}{9}}{n}\right)^n[/mm]
> .
>
>
> > Als Majorante bietet sich doch die Folge
> > [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] an, oder?
> > Diese konvergiert gegen e.
>
> Damit ist diese Majorante sinnlos. Wegen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n \ = \ e \ \not= \ 0[/mm] , gilt
> auch:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n \ \longrightarrow \ \infty[/mm]
was ist denn nun [mm] $b_n$ [/mm] und was hat das mit obiger Reihe zu tun? (Ich
guck' gleich nochmal in die Aufgabenstellung, auf jeden Fall verwirrt mich
das hier an der Stelle ^^).
Mit Abakus Hinweis:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^n\cdot{}\left(1+\bruch{\bruch{10}{9}}{n}\right)^n$$ [/mm]
ist nur zu beachten:
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^n\cdot{}\left(1+\bruch{\bruch{10}{9}}{n}\right)^n=0*e^{10/9}=0\,.$$
[/mm]
P.S.
Du weißt es eh, aber man schreibt nicht
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty b_n \red{\;\longrightarrow\;} \infty\,,$$
[/mm]
sondern das [mm] $\red{\;\longrightarrow\;}$ [/mm] ist durch ein [mm] $=\,$ [/mm] zu ersetzen.
Oder
[mm] $$\sum_{n=1}^N b_n \to \infty\,$$
[/mm]
bei $N [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es wurde ja schon drauf hingewiesen, dass Du das Limes-Zeichen falsch
verwendest. Eigentlich geht bei Dir die Logik der Grenzwertsätze ein wenig
unter, deswegen mal beispielhaft:
Wir berechnen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
für
> [mm]a_{n}:=\bruch{15n^{2}-12n^{4}+2012}{2n^{4}+3n^{3}-4n}[/mm]
(und Du schreibst am besten die Begründungen dazu, am besten, indem
Du die Gleichungskette von rechts nach links liest!)
Es gilt (ich schreibe nur kurz [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$) [/mm]
[mm] $$\lim a_n=\lim \frac{15n^2-12n^4+2012}{2n^4+3n^3-4n}\stackrel{(1)}{=}\lim \frac{\tfrac{15}{n^2}-12+\tfrac{2012}{n^4}}{2+\tfrac{3}{n}-\tfrac{4}{n^3}}\stackrel{(2)}{=}\frac{\lim (\tfrac{15}{n^2}-12+\tfrac{2012}{n^4})}{\lim (2+\tfrac{3}{n}-\tfrac{4}{n^3})}\stackrel{(2)}$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{(3)}{=}\frac{(\lim \tfrac{15}{n^2})-(\lim 12)+(\lim\tfrac{2012}{n^4})}{(\lim 2)+(\lim \tfrac{3}{n})-(\lim \tfrac{4}{n^3})}\stackrel{(4)}{=}\frac{0-12+0}{2+0-0}=\frac{-12}{2}=\;-\;6\,.$$
[/mm]
Da, wo keine Nummerierungen dranstehen, gehe ich davon aus, dass Dir
die Gleichheit klar ist. Falls dem mal irgendwo nicht so sein sollte: Frage
bitte nach!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Bstealth |
1: [mm] n^4 [/mm] ausgeklammert um den Grenzwert später leichter ablesen zu können.
2: Grenzwertsatz 4: Ist [mm] b\not=0 [/mm] so exitiert ein [mm] m\in \IN [/mm] mit [mm] b_{n}\not=0 \foralln \gem, [/mm] und für die Folge [mm] \bruch {a_{n}}{b_{n}}_{n\in\IN_{\ge}m}
[/mm]
Es gilt
lim [mm] \bruch {a_{n}}{b_{n}}= \bruch{lim (a_{n})}{lim(b_{n})}=\bruch{a}{b} [/mm] Das letzte Gleichheitszeichen kann man hier noch nicht anwenden
3: Grenzwertsatz 1,2: Die Folge [mm] (a_{n}+ [/mm] bzw. - [mm] b_{n})_{n\in\IN} [/mm] Konvergiert und es gilt:
[mm] lim(a_{n}\pm b_{n})= [/mm] lim [mm] a_{n} \pm [/mm] lim [mm] b_{n} [/mm] = a [mm] \pm [/mm] b
4: lim [mm] a_{n} \pm [/mm] lim [mm] b_{n} [/mm] = a [mm] \pm [/mm] b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> 1: [mm]n^4[/mm] ausgeklammert um den Grenzwert später leichter
> ablesen zu können.
> 2: Grenzwertsatz 4: Ist [mm]b\not=0[/mm] so exitiert ein [mm]m\in \IN[/mm]
> mit [mm]b_{n}\not=0 \foralln \gem,[/mm] und für die Folge [mm]\bruch {a_{n}}{b_{n}}_{n\in\IN_{\ge}m}[/mm]
>
> Es gilt
> lim [mm]\bruch {a_{n}}{b_{n}}= \bruch{lim (a_{n})}{lim(b_{n})}=\bruch{a}{b}[/mm]
> Das letzte Gleichheitszeichen kann man hier noch nicht
> anwenden
> 3: Grenzwertsatz 1,2: Die Folge [mm](a_{n}+[/mm] bzw. -
> [mm]b_{n})_{n\in\IN}[/mm] Konvergiert und es gilt:
> [mm]lim(a_{n}\pm b_{n})=[/mm] lim [mm]a_{n} \pm[/mm] lim [mm]b_{n}[/mm] = a [mm]\pm[/mm] b
> 4: lim [mm]a_{n} \pm[/mm] lim [mm]b_{n}[/mm] = a [mm]\pm[/mm] b
>
Ja, korrekt
FRED
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
