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| Aufgabe | Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y = [mm] \bruch{1}{8} x^{2} [/mm] Dabei entspricht einer Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.
Wie hoch muss die Wasserhöhe im Kanal sein (in Meter), damit er 50% seines max. Fassungsvermögens erreicht?
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Servus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Fläche des Querschnitts und das Volumen bei max. Füllhöhe habe ich bereits errechnet.
y(x) = [mm] \bruch{1}{8} x^{2} [/mm] ; g(x) = 2 ; L = 2km = 2000m
A1 = [mm] \integral_{-4}^{4}{(g(x)-y(x)) dx} [/mm] = [mm] \bruch{32}{3} [/mm] [m²]
V1 = A1*L = [mm] \bruch{32}{3} [/mm] * 2000 = [mm] \bruch{64000}{3} [/mm] [m³]
Aber wie gehe ich nun weiter vor?
Mir sind ja weder die Integralgrenzen, noch die zweite begrenzende Funktion bekannt, die gleichzeitig die gefragte Höhe darstellt. Gleichsetzten um auf die Schnittpunkte zu kommen fällt also weg.
Einer anderer Lösungsansatz:
[mm] \bruch{16}{3} [/mm] => Flächeninhalt des Querschnitts bei 50% Füllhöhe
Den Flächeninhalt teile ich nochmal durch 2, da das ganze Gebilde ja achsensymmetrisch ist und integriere einfach von 0 bis b. Also:
[mm] \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{b}{(h(x)-y(x)) dx}
[/mm]
Ups, dazu brauche ich ja wieder die unbekannte, den Flächeninhalt nach oben begrenzende Funktion -.-
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Gruß,
der Seegurkenkontrolleur ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, du sprichst von einer Parabel, gebe mal bitte die Funktionsgleichung an, so kann man sie nicht lesen, Steffi
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Ist erledigt, sollte jetzt hoffentlich etwas verständlicher sein, sorry!
Gruß,
der Seegurkenkontrolleur ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 02.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Ist erledigt, sollte jetzt hoffentlich etwas
> verständlicher sein, sorry!
>
>
> Gruß,
> der Seegurkenkontrolleur ;)
Hallo,
ist die Aufgabenstellung richtig angegeben?
50% der max. Füllhöhe ist relativ sinnlos, nicht wahr?
Sollte es nicht eher 50% des max. Fassungsvermögens sein?
In diesem Fall würde ich den Wasserspiegel durch y=c beschreiben.
Für eine beliebige Höhe c kannst du zunächst die Schnittpunkte mit dem Kanalprofil bestimmen und dann diese Werte als Integrationsgrenzen verwenden. Rauskommen muss damit die Hälfte der maximalen Querschnittsfläche.
Gruß Abakus
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Habs geändert, Du hast recht. Uff, ich bin schon völlig von der Rolle.
Aber wie soll das denn jetzt konkret funktionieren? Ich verstehs nicht.
Gruß,
der Seegurkenkontrolleur ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Habs geändert, Du hast recht. Uff, ich bin schon völlig
> von der Rolle.
> Aber wie soll das denn jetzt konkret funktionieren? Ich
> verstehs nicht.
Steffi hat dir doch schin den Tipp gegeben, du suchst den Wert für [mm] x_{0}, [/mm] an dem die halbe Querschnittsfläche erreicht wird.
Es soll also gelten:
$ [mm] \integral_{0}^{x_0}x_{0}-\bruch{1}{8}x_{0}^2 dx=\bruch{8}{3} [/mm] $
Aus dieser Gleichung bestimme nun [mm] x_{0}
[/mm]
>
>
> Gruß,
> der Seegurkenkontrolleur ;)
Marius
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Hallo, ok jetzt ist die Funktion klar [mm] f(x)=\bruch{1}{8}x^2, [/mm] deiner Rechnung kann ich entnehmen, die Grenzen sind -4 und 4, du hast die blaue Fläche (vollständige Füllhöhe) mit [mm] \bruch{32}{3} [/mm] korrekt berechnet
[Dateianhang nicht öffentlich]
betrachte jetzt nur den 1. Quadranten, auf ihn entfällt [mm] \bruch{16}{3}, [/mm] bei 50% Fasungsvermögen beträgt somit die blaue Fläche [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x_0}{y_0-\bruch{1}{8}x^2 dx}=\bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] y_0 [/mm] ist die unbekante Füllhöhe
weiterhin ist dir bekannt [mm] f(x_0)=y_0
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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