Bestimmung von Kreisen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Di 20.12.2005 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die beiden Kreise durch den Punkt A (2/1), die die Geraden g1 : x1 - x2 -1 = 0 und g2: x1 + x2 -5 = 0 berühren. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich komme nicht weiter!
Also: Zunächst habe ich beiden Geraden einmal gezeichnet. g1 geht durch
0/-1 und 1/0; g2 geht durch 0/5 und 5/0. soweit so gut.
Ich kann auch (erstmal den) einen Kreis skizzieren, der durch A (2/1) geht die Gerade g1 an einem Punkt P berührt und den Radius r1 hat.
Der Radius ist die Länge zwischen A und M, sowie zwischen M und P. Auch gut.
Ferner steht r1 ja senkrecht auf g1.
Dann gibt es noch die Formel:
(x-m) (b-m)= r1*r1
und die allgemeine Kreisgleichung
(x-m) (x-m) = r1*r1
Aber irgenwo habe ich zuviele Unbekannte. Keine Ahnung, wie ich das Ganze zusammenbringen soll. Also wie ich r1 und m1 ermitteln kann... Alles andere dürfte ja dann, analog für den zweiten kreis anzuwenden sein.
Nur wie??? Hilfe!!
Und noch eine allgemeine Frage. Gibt es ein wirklich gutes Lehrbuch mit ausführlichen Lösungen für Analytische Geometrie für die Oberstufe. Bisher bin ich leider nur auf Bücher gestoßen, die entweder keine Lösungen, oder Lösungen ohne nachvollziehbare Lösungswege boten, oder bestimmte Probleme gar nicht behandelten (wie z.B. Kreise und Kugeln; bzw. keine Aufgaben, in denen man M und r von Kreisen suchte). Es ist ja nett, wenn man nochmal vergleichen kann, ob die Lösungen mit den gefundenen Lösungen übereinstimmen, nur wenn man nicht sicher ist und nur ein Schritt / ein Baustein fehlt, dann sitzt man eben da :-( --- ja.
Danke für Eure Hilfe!
Gruss Wolfgang
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Hallo!
> Bestimmen Sie die beiden Kreise durch den Punkt A (2/1),
> die die Geraden g1 : x1 - x2 -1 = 0 und g2: x1 + x2 -5 =
> 0 berühren.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich komme nicht weiter!
>
> Also: Zunächst habe ich beiden Geraden einmal gezeichnet.
> g1 geht durch
> 0/-1 und 1/0; g2 geht durch 0/5 und 5/0. soweit so gut.
>
> Ich kann auch (erstmal den) einen Kreis skizzieren, der
> durch A (2/1) geht die Gerade g1 an einem Punkt P berührt
> und den Radius r1 hat.
> Der Radius ist die Länge zwischen A und M, sowie zwischen M
> und P. Auch gut.
>
> Ferner steht r1 ja senkrecht auf g1.
Ich habe mir mal kurz eine Skizze gemacht, deine Aufgabe aber nicht bis ins Detail durchdacht. Aber ich sehe bei dir nirgendwo, dass du die letzte obige Aussage auch verwendet hast, oder? Also, wenn [mm] r_1 [/mm] senkrecht auf [mm] g_1 [/mm] steht, bedeutet das doch, dass das Skalarprodukt eines Vektors der Geraden mit dem Radius [mm] r_1 [/mm] gleich 0 ist, oder nicht? Also hättest du noch folgende Bedingung:
[mm] \vektor{m_1-2\\m_2-1}*\vektor{1\\1}=0
[/mm]
Evtl. hilft dir das weiter?
> Dann gibt es noch die Formel:
>
> (x-m) (b-m)= r1*r1
>
>
> und die allgemeine Kreisgleichung
>
> (x-m) (x-m) = r1*r1
>
> Aber irgenwo habe ich zuviele Unbekannte. Keine Ahnung, wie
> ich das Ganze zusammenbringen soll. Also wie ich r1 und m1
> ermitteln kann... Alles andere dürfte ja dann, analog für
> den zweiten kreis anzuwenden sein.
>
> Nur wie??? Hilfe!!
>
> Und noch eine allgemeine Frage. Gibt es ein wirklich gutes
> Lehrbuch mit ausführlichen Lösungen für Analytische
> Geometrie für die Oberstufe. Bisher bin ich leider nur auf
> Bücher gestoßen, die entweder keine Lösungen, oder Lösungen
> ohne nachvollziehbare Lösungswege boten, oder bestimmte
> Probleme gar nicht behandelten (wie z.B. Kreise und Kugeln;
> bzw. keine Aufgaben, in denen man M und r von Kreisen
> suchte). Es ist ja nett, wenn man nochmal vergleichen kann,
> ob die Lösungen mit den gefundenen Lösungen übereinstimmen,
> nur wenn man nicht sicher ist und nur ein Schritt / ein
> Baustein fehlt, dann sitzt man eben da :-( --- ja.
Also, wir haben es in der Schule nicht gemacht, aber in meinem alten Mathebuch - Analytische Geometrie mit linearer Algebra (bei mir war es die Leistungskursausgabe, aber ich glaube, es steht auch in dem Buch für die 11. Klasse drin) von Lambacher Schweizer, da stehen Aufgaben zu Kreisgleichungen und so drin. Es gibt dazu auch ein Lösungsbuch, weiß allerdings nicht, ob man da dran kommt, wenn man nicht gerade Lehrer ist. Auf jeden Fall gibt es da aber auch immer ein paar Aufgaben mit Beispielen und eine Seite mit Aufgaben zum Üben und Wiederholen, zu denen am Ende auch die Lösungen stehen. Evtl. kannst du irgendwo mal in das Buch reinschauen oder es dir sogar ausleihen? Es ist halt nicht nur dieses Thema, aber es steht etwas dazu drin. Und bevor du gar nichts hast...
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Der Punkt [mm]P[/mm] liegt ja auf der Geraden [mm]g_1[/mm]. Die beiden Geraden sollen Tangenten zum noch zu bestimmenden Kreis werden. Also muß der Mittelpunkt des Kreises auf den Winkelhalbierenden von [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] liegen. Das sind hier offenkundig die Geraden mit den Gleichungen [mm]x_1 = 3[/mm] bzw. [mm]x_2 = 2[/mm]. Jetzt muß man nur noch in [mm]P[/mm] das Lot auf [mm]g_1[/mm] errichten und mit den Winkelhalbierenden schneiden. Das führt dann sofort auf die gesuchten Mittelpunkte. Hier ist es sogar besonders einfach und läßt sich wegen [mm]g_1 \bot g_2[/mm] fast ohne Rechnung ermitteln. Wenn nämlich [mm]S[/mm] der Schnittpunkt von [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] ist, [mm]M[/mm] einer der gesuchten Mittelpunkte und [mm]Q[/mm] der Berührpunkt des Kreises um [mm]M[/mm] mit [mm]g_2[/mm], dann ist [mm]SPMQ[/mm] ein Quadrat. Und damit kann man die Koordinaten von [mm]M[/mm] ablesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 21.12.2005 | | Autor: | hase-hh |
Erstmal: vielen Dank für die Antwort. Ich glaube, ich habe noch nicht alles verstanden.
Also klar ist mir
1. g1 und g2 stehen senkrecht zu einander, da das Produkt ihrer Richtungsvektoren null ist.
Den Schnittpunkt (S) zwischen g1 und g2 erhalte ich durch Gleichsetzen von g1 und g2, d.h.
x1 -x2 - 1 = x1 + x2 - 5
x2 = 2 und x1 = 3 => S (3/2) und damit ergeben sich die Winkelhalbierenden mit W1: x1=3 und W2: x2=2 [immer oder nur in diesem Fall?]
Wenn ich die Normale von g1 bilde: (1) x1 + (1) x2
und mit der Winkelhalbierenden W1 gleichsetze erhalte ich:
x1 + x2 = x1
x2 = 0
m2 = 0
und aus
(2 - m1) (1)
(1 - m2) (1) = 0 => m1 = 3 - m2
m1 = 3 d.h. M1 (3 /0)
Weiter:
r1*r1 = (2 - [mm] 3)^{2} [/mm]
(1 - 0)
r1 = wurzel 2
Ist das bis hierhin richtig?
Allerdings weiss ich leider immer noch nicht, wie ich die zweite Kreisgleichung herausbekomme ---> ???
S (3/2) M(3/0) sind dann schon mal zwei Punkte des Quadrates?!
Wenn ich den zweiten Kreis hätte, könnte ich mir ein Bild machen!
Allerdings
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Dein Lösungsverfahren zur Schnittpunktbestimmung ist falsch. Daß du dennoch zu teilweise richtigen Ergebnissen kommst, liegt nur daran, daß hier die Koeffizienten von [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] so einfach sind. Schon wenn eine der Geradengleichungen vor [mm]x_1[/mm] den Koeffizienten 2 statt 1 hätte, wäre Schluß. Deine Ergebnisse sind also nur zufällig richtig, der Lösungsweg dagegen ist falsch. Methode: "Was ist 7 mal 7?" "Na klar, ich rechne [mm]13 + 38 - 6 = 49[/mm]". Zwar stimmt hier das Ergebnis, sonst aber gar nichts.
Wenn du zwei Geraden in Normalenform vorliegen hast, erhältst du den Schnittpunkt durch Lösen eines linearen 2×2-Gleichungssystem. Und niemals kann man Teile von Gleichungen gleichsetzen. Dieser Unsinn läßt sich offenbar nicht ausrotten, du bist da nicht allein mit dieser irrigen Ansicht. Was man nur tun kann, sind Terme gleichsetzen, die gleiche Ergebnisse liefern sollen.
Wenn ich einmal [mm]x[/mm] statt [mm]x_1[/mm] und [mm]y[/mm] statt [mm]x_2[/mm] schreibe, dann lauten die Geradengleichungen
[mm]g_1: \ \ x - y - 1 = 0 \, , \ \ \ \ \ g_2: \ \ x + y - 5 = 0[/mm]
Und hier bitte nichts gleichsetzen! Was man tun kann, ist, nach [mm]y[/mm] (oder [mm]x[/mm]) auflösen:
[mm]g_1: \ \ y = x - 1 \, , \ \ \ \ \ g_2: \ \ y = -x + 5[/mm]
Und beim Schnittpunkt soll nun der Term [mm]x - 1[/mm] für dasselbe [mm]x[/mm] dasselbe [mm]y[/mm] liefern wie der Term [mm]-x + 5[/mm]. Deswegen kann man die Terme gleichsetzen:
[mm]x - 1 = -x + 5[/mm]
Und hieraus kannst du jetzt das [mm]x[/mm] und dann mit einer der Geradengleichungen auch das [mm]y[/mm] des Schnittpunktes berechnen.
(Zwar liefert auch das Gleichsetzen [mm]x - y - 1 = x + y - 5[/mm] eine richtige Gleichung, weil ja [mm]0 = 0[/mm] ist. Dennoch ist dieses Gleichsetzen nicht zielführend. Nimm einmal an, die Geradengleichung von [mm]g_1[/mm] wäre [mm]2x - y - 1 = 0[/mm], während [mm]g_2[/mm] bleibt. Jetzt versuche einmal, den Schnittpunkt mit deiner "Methode" zu berechnen. Dann versuchst du es mit meinem Vorschlag. Da wird dir der Unterschied ins Auge springen.)
Auch sonst machst du noch so viele Fehler, daß ich gar nicht weiß, wo ich anfangen soll, da das den Rahmen dieses Beitrags sprengen würde. Nur so viel: Daß die Winkelhalbierenden gerade die Gleichungen [mm]x = 3[/mm] und [mm]y = 2[/mm] haben, ist nur hier so. Es liegt daran, daß die Geraden [mm]g_1, g_2[/mm] die Steigungen 1 bzw. -1 haben. Deswegen schneiden sie erstens die [mm]x[/mm]-Achse unter 45° bzw. -45° und sind zweitens auch noch senkrecht zueinander (Produkt der Steigungen ist -1). Und so verlaufen die Winkelhalbierenden nun wiederum parallel zur [mm]x[/mm]- bzw. [mm]y[/mm]-Achse., weswegen man die Gleichungen aus den Koordinaten von [mm]S[/mm] einfach ablesen kann. Im allgemeinen Fall ist das Berechnen der Winkelhalbierenden um einiges komplizierter. Also Vorsicht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 22.12.2005 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank für die Hinweise. So kann ich die Aufgabe immer noch nicht ganz lösen. Ich denke, ich bin nicht der Einzige, der alle möglichen Ideen durcheinander wirft, wenn er "schwimmt". Deswegen frage ich ja.
Gut. Also verstanden habe ich, dass der Schnittpunkt der beiden Geraden durch Auflösen der Gleichungen nach y und anschließendem gleichsetzen funktioniert.
Nehmen wir die Winkelhalbierenden als gegeben hin [kann ich mir ja noch mal anschauen], so bleibt die entscheidende Frage, wie ich den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises bestimme, der durch (2/1) geht.
Vielleicht kann ich ja den zweiten Kreis selbst bestimmen, wenn ich den Lösungsweg für den ersten gezeigt bekomme?!
Ich versuche mir auch die Aufgabenstellung durch eine Skizze zu veranschaulichen.
Mit dem Punkt P meinst Du sicherlich meinen Punkt A (2/1).
So habe ich dann für das "Quadrat", die Punkte
S (3/2), P(2/1), M (3/0), Q (4/1) grafisch ermittelt. Ist ganz hübsch, nur hilft mir das nicht, M und r rechnerisch zu ermitteln.
gruss
wolfgang
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Zunächst - ja, es muß natürlich [mm]A[/mm] und nicht [mm]P[/mm] heißen. Da habe ich nicht sorgfältig genug gelesen.
Ich selbst würde hier die geometrische Lösung akzeptieren. Wenn man nämlich einen Kreis mit zwei Tangenten, die aufeinander senkrecht stehen, hat, dann bilden Schnittpunkt - Berührpunkt 1 - Mittelpunkt - Berührpunkt 2 immer ein Quadrat. (Das leuchtet unmittelbar ein, wenn man sich die beiden Geraden im Heft entlang der Karostruktur zeichnet. Daraus entsteht ja die in deiner Aufgabe vorliegende Situation durch bloßes Drehen und Verschieben.) Und hier findet man [mm]M(3|0)[/mm] dann sofort durch Zeichnen der Diagonalen des Quadrates.
Wenn du hingegen eine rechnerische Lösung suchst, dann gehe so vor: Stelle erst die Gleichung des Lots [mm]h[/mm] auf [mm]g_1[/mm] in [mm]A[/mm] auf. Diese muß die Steigung -1 haben (also parallel zu [mm]g_2[/mm] sein):
[mm]h: \ \ y = -x + \ldots[/mm]
Und da der Punkt [mm]A[/mm] auf [mm]h[/mm] liegen muß, kannst du die noch fehlende Konstante bestimmen. Es muß beim Einsetzen von 2 für [mm]x[/mm] ja [mm]y = 1[/mm] herauskommen. Und dann [mm]h[/mm] mit der Winkelhalbierenden [mm]x = 3[/mm] schneiden. (Natürlich geht das jetzt hier nicht mit Gleichsetzen der [mm]x[/mm]-Terme für [mm]y[/mm], denn du kannst die Winkelhalbierendengleichung nicht nach [mm]y[/mm] auflösen, da sie dieses ja gar nicht enthält. Aber hier liegt das Vorgehen ja auf der Hand.)
Alternativ kannst du die Gleichung von [mm]h[/mm] auch mit Methoden der Vektorrechnung aufstellen. Ich finde das hier aber nicht so praktisch.
Und um den Radius eines Kreises zu bestimmen, mußt du ja nur den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Kreispunkt bestimmen. Und beides hast du ja dann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Sa 07.01.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die beiden Kreise durch den Punkt A(2/-1) , welche die Geraden g1 und g2 tangieren. [ACHTUNG Punkt A hat die Koordinaten 2 / minus 1!!] --- Wie kann ich den Mittelpunkt des zweiten Kreises rauskriegen?
g1 : ( 1)
(-1) * Vektor x - 1 = 0 x - y - 1 = 0 y = x - 1
g2 : ( 1)
( 1) * Vektor x - 5 = 0 x + y 5 = 0 y = -x + 5
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Soweit wie ich es mit Eurer Hilfe lösen konnte:
Aussage:
g1 und g2 stehen senkrecht auf einander .
Die beiden Geraden sollen Tangenten zum bestimmenden Kreis k sein. Darum muß der Mittelpunkt des Kreises auf einer der Winkelhalbierenden von g1 und g2 liegen.
Die Winkelhalbierenden sind hier x = 3 bzw. y = 2. [Nur in diesem Fall so einfach]
Schnittpunkt von g1 und g2 :
[g1 nach y auflösen] y = x 1
[und in g2 einsetzen]
x + x 1 5 = 0
2 x = 6
x = 3 und y = 2 S (3 / 2)
2. Berechnung des Mittelpunktes von k1
2 a. über Bestimmung der Lotgeraden
Steigung der Lotgeraden h = Steigung von g1, da beide parallel sind
h: y = mx + n m = +1
y = -x + n und Punkt A(2 /-1) liegt auf der Lotgeraden
1 = -2 + n => n = 3
y = - x + 3
Da M auf der Winkelhalbierenden liegt, ist x = 3 => M (3 / 0)
2 b. über Vektorrechnung
Produkt orthogonaler Vektoren ist immer = 0
(x mx) ( 1)
(y my) (-1) = 0
( 2 mx) ( 1)
(-1 my) (-1) = 0
2 mx + 1 + my = 0
my = mx -3 und da mx = 3 sein muss (Winkelhalbierende)
my = 0 M1 (3 / 0)
3. Radius von k1 berechnen
M1 in Kreisgleichung einsetzen
(2 3)2
(1 0) = r2
r = wurzel 2
[oder anhand der skizze, gem. Pythagoras: r2 = 12 + 12]
Aber es soll noch eine zweite Lösung geben. Laut Lösungsbuch m.E.
M2 (3/-8)
Aber, wie komme ich auf den Mittelpunkt des zweiten Kreises, der ja 1. durch den Punkt A (2 / -1) gehen soll, und zweitens die Geraden g1 und g2 berühren soll?
Zuerst dachte ich, k2 läge im links von S, aber das kann ja nicht sein, da A auf dem kreis k2 liegen soll. Also muß ein zweiter kreis auch unterhalb von S liegen.
Zweite Idee: Die Parallele von g2 durch A führt zu M2 (3 / -2) und dem radius r2 = wurzel 2 -> der aber doch zu kurz ist, um g1 und g2 berühren zu können.
-> ???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 08.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Mittelpunkt des 2. Kreises liegt auf der zweiten Winkelhalbierenden, also ist die Rechnung fast die gleiche, der eine Kreis berührt die Gerade bei A von der einen Seite, dar andere von der anderen. Du musst also nur noch deine Lotgerade mit der 2. WH schneiden, also mit y=2,dann hast du den 2. Mittelpunkt.( r muss dasselbe sein, weil ja A auf g1 liegt)
(Noch zu dem Schnitt der 2 Geraden: nach y auflösen ist nicht immer der einfachste Weg, allgemeiner schreibt man die besser als Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und löst dann nach dem einfachsten Verfahren.)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 08.01.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo leduart,
zuerst dachte ich ja auch, dass kreis2 im sektor links von S liegt.
[anmerkung: die beiden geraden teilen das blatt in vier sektoren:
1. sektor links von S
2. sektor unterhalb von S
3. sektor rechts von S
4. sektor oberhalb von S
und A (2 / - 1 ) ]
Ich habe die geraden gezeichnet, den punkt A (2 / -1) dann die winkelhalbierenden und dann k1. soweit so gut.
wenn ich die andere WH nehme, bekomme ich raus: M2 (-1 / 2) ->
r = 3 * wurzel 2.
dann wollte ich dies in mein diagramm einzeichnen und...
entweder der kreis2 schneidet g1 und g2 mit A (2 / -1) auf k2
oder der kreis2 berührt g1 und g2 aber A (2 / -1) liegt nicht auf dem kreis.
daher bin ich dann zu der schlussfolgerung gelangt, dass kreis2 auch im sektor unterhalb von S liegen muss -> ???
nur wie ich dahin komme, weiss ich nicht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 08.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hase
Ein bissel ärgerlich ist es schon, wenn nach vielen postings das Problem geändert wird! ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]")
A=(2,1) lag AUF der Tangente, der neue Punkt (2,-1) liegt zwischen den Tangenten, beide Mittelpunkte liegen dann natürlich auf derselben Winkelhalbierenden x=3. Der Mittelpunkt hat die Eigenschaft, dass der Abstand von g gleich der Entfernung zu A sein muss!
also [mm] \overline{AM}= \overline{PM} [/mm] wenn P der berührpunkt ist. Da die 2 Tangenten senkrecjt aufeinander stehen ist [mm] \overline{PM}=\overline{PS}, [/mm] also SPMP' ein Quadrat. also [mm] \overline{SM}=\wurzel{2}*\overline{PM}.
[/mm]
mit M=(3,y) kannst und [mm] y=2-\overline{AM}kriegst [/mm] du ne quadratische Gl. für y, und damit 2 Lösungen. (es gibt also nen kleinen und nen großen Kreis, der eine Mittelpkt liegt oberhalb A, der andere unterhalb)
Und nun entschuldig dich für die viele Umsonstarbeit bei allen Beteiligten!![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mo 09.01.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo leduart,
es stimmt schon, ich bin ein bisschen doof. habe den punkt A nicht korrekt abgelesen. entschuldigung!
zum trost, insbesondere deine ausführungen haben mir sehr geholfen! habe so - ungewollt - das quadrat und die beiden kreise auf den beiden winkelhalbierenden kennen gelernt.
danke an alle!!
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