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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Bestimmung von Pyramidenspitze
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Bestimmung von Pyramidenspitze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Fr 15.05.2009
Autor: steffnnn

Aufgabe
Das Parallelogramm OABC sei nun die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide, deren Spitze S auf der positiven [mm] x_{3}-Achse [/mm] liegt.
Bestimmen sie die Koordinaten des Punktes S so, dass die Pyramide OABCS den Rauminhalt [mm] \bruch{50}{3} [/mm] besitzt.

So lautet eine Teilaufgabe aus dem GK-Abitur Bayern 2009, Analytische Geometrie V. Ich komme jedoch nicht weiter.

A(-3|4|0), B(-5|5|2), C(-2|1|2) sowie O liegen auf einer Ebene:

[mm] 8x_{1}+6x_{2}+5x_{3}=0 [/mm]


Der Flächeninhalt OABC beträgt [mm] 5\wurzel{5}. [/mm] So habe ich zuerst die Höhe h bestimmt:
[mm] V=\bruch{1}{3}*G*h [/mm]
[mm] \bruch{50}{3}=\bruch{1}{3}*5\wurzel{5}*h [/mm]
[mm] h=\bruch{50}{3}*3*\bruch{1}{5\wurzel{5}}=2\wurzel{5} [/mm]


Damit und mithilfe der Ebene wollte ich über [mm] \vec{n^{0}} [/mm] weiterrechnen. Ich habe aber eben gemerkt dass in der Angabe nichts davon steht, dass der Fußpunkt im Lot zur Ebene steht (Jetzt weiß ich zumindest warum ich gestern zwar Ergebnisse, aber keine realistischen, herausbekam...).

Ich stehe bei der Aufgabe so richtig auf dem Schlauch. Ich bin für Tipps sehr dankbar!

Der Vollständigkeit halbe: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




Edit: So, ich bin nun selbst auf eine Lösung gekommen.Wichtig ist der Teil "deren Spitze S auf der positiven [mm] x_{3}-Achse [/mm] liegt." Ich habe wohl immer gelesen "deren [mm] x_{3}-Abschnitt [/mm] positiv ist." Aber so wird die Aufgabe natürlich klar. [mm] x_{3}-Achse [/mm] heißt ja, [mm] x_{1}=x_{2}=0. [/mm]

Aus der NNF ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{5\wurzel{5}}*(8x_{1}+6x_{2}+5x_{3})=0 [/mm]

und somit
[mm] d(E;S)=\bruch{1}{5\wurzel{5}}*(8s_{1}+6s_{2}+5s_{3})=2\wurzel{5} [/mm]

bzw für [mm] s_{1}=s_{2}=0 [/mm]
[mm] \bruch{1}{5\wurzel{5}}*(5s_{3})=2\wurzel{5} [/mm]
[mm] s_{3}=10 [/mm]

=> S(0|0|10)

        
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Fr 15.05.2009
Autor: mathestuden

Hallo,

ist O der Ursprung (0,0,0)?

Grüße

mathestudent

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Fr 15.05.2009
Autor: MathePower

Hallo mathestudent,

> Hallo,
>  
> ist O der Ursprung (0,0,0)?


Ja.


>  
> Grüße
>  
> mathestudent


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Fr 15.05.2009
Autor: weduwe

ich hätte das spatprodukt verwendet :-)

[mm]V=\frac{1}{3}|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC})\cdot\vektor{0\\0\\z}|=\frac{50}{3}\to z = 10 > 0[/mm]

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Fr 15.05.2009
Autor: mathestuden

Auch eine coole Idee.

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:17 Fr 15.05.2009
Autor: steffnnn

Spatprodukt kannte ich bisher nicht. Das ist aber eine interessante Lösungsmöglichkeit. Ich werde es mir merken, dankesehr!

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Fr 15.05.2009
Autor: mathestuden

Noch ein Tipp zum Tipp. Berechne die Determinante der Matrix, die das Spatprodukt aufspannt. Das geht schneller als sich mit dem Kreuzprodukt herumzuschalgen.

Gruß

Mathestudent

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung von Pyramidenspitze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Fr 15.05.2009
Autor: weduwe


> Noch ein Tipp zum Tipp. Berechne die Determinante der
> Matrix, die das Spatprodukt aufspannt. Das geht schneller
> als sich mit dem Kreuzprodukt herumzuschalgen.
>  
> Gruß
>  
> Mathestudent

das ist doch dasselbe :-)
und im konkreten fall benötige ich nur die z-komponente des vektorproduktes


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