Bestimmung von Seitenlänge < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
| Aufgabe | | Ist der Umfang eines Rechtecks vorgegeben, so ist die Fläche des Rechtecks maximal, wenn es sich um ein Quadrat handelt. Weise nach, dass diese Aussage für jedes U>0 wahr ist. |
Wie kann ich nachweisen, dass die Aussage für jedes U>0 wahr ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 12.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo elraK!
Hierbei handelt es sich um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung.
Für Rechtecke mit den Seiten $a_$ und $b_$ gilt:
$$A \ = \ a*b$$
$$u \ = \ 2a+2b \ = \ 2*(a+b)$$
Forme nun die Umfangsformel z.B. nach $b \ = \ ...$ um und setze in die Flächenformel ein.
Damit erhältst Du eine Funktion $A(a)_$ mit nur noch einer Unbekannten: $a_$ .
Für diese Variable nun eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) druchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
somit bekomme ich bei z.b. u= 2a+2b für das b = -1a heraus.
Wenn ich dies dann in die Flächeninhalt (A) einsetze ergibt dies:
A(a) = a * (-1a)
> Hallo elraK!
>
> [...]
>
> Für diese Variable nun eine Extremwertberechnung
> (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) druchführen.
>
>
> Gruß
> Loddar
Was ist damit gemeint mit einer Extremwertberechnung durchführen??? Wie macht man das, kannst du (oder jemand anderes) mir ein Beispiel hierfür geben, somit dann auch gleich bewiesen wäre, dass die Aussage für jedes U>0 wahr ist?!
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> somit bekomme ich bei z.b. u= 2a+2b für das b = -1a
> heraus.
Hallo,
wenn Du Schafe hättest und eine Weidefläche mit Deinen u= 100m Stromlitze einzäunen wolltest, wobei die Seite a=20m sein soll, so hoffe ich sehr, daß Du Dich wundern würdest, wenn das Ergebnis Deiner Berechnungen für die andere Seite [mm] b=\red{-}20 [/mm] m ergeben würde.
Hoffen würde ich nicht nur auf verwunderung wegen des Vorzeichens, sondern auch wegen der absoluten Zahlen.
Verbrauchst Du so Deine 100m Litze. Nein.
So. ich denke mal, die kleine Aufgabe mit der Litze hast Du einwandfrei lösen können.
Wir varieren:
wenn Du 100m Litze hast, und die eine Seite des Rechtecks die Lange a haben soll, wie lang ist die andere?
Drücke nun die Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit von a aus: F(a)=a* ???
So. Und wenn Du das hast, nimm von der Litze u Meter, die Seitenlänge a, drücke b mithilfe von u und a aus und schreibe schließlich die Fläche so, daß kein b vorkommt
F(a)= a*b=a* ....
Das ist dann die zu optimierende Funktion. Die Variable ist das a. Der Umfang u ist wie eine zahl zu behandeln, er ist ja fest vorgegeben.
> > Für diese Variable nun eine Extremwertberechnung
> > (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) druchführen.
>
> Was ist damit gemeint mit einer Extremwertberechnung
> durchführen??? Wie macht man das, kannst du (oder jemand
> anderes) mir ein Beispiel hierfür geben, somit dann auch
> gleich bewiesen wäre, dass die Aussage für jedes U>0 wahr
> ist?!
Extremwertberechnung ist kurz gesagt das Ding mit "1.Ableitung=0, [mm] 2.Ableitung\not=0" [/mm] - hoffentlich erinnerst Du Dich.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:50 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
ja aber welche Antwort erwartet der Fragensteller?
Kann mir jemand eine "Musterlösung" geben?
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> ja aber welche Antwort erwartet der Fragensteller?
> Kann mir jemand eine "Musterlösung" geben?
Hallo,
beachte bitte die Forenregeln, insbesondere den Passus über die eigenen Lösungsansätze.
Es wird hier im Forum i.d.R. geduldig und oft auch ausdauernd geholfen, als Lösungsmaschine ist es nicht gedacht.
Lösungen werden im Dialog mit den Fragenden entwickelt.
Der die Frage stellt, erwartet von Dir folgendes:
1. Du sollst erkennen, daß bei fest vorgegebenem Rechtecksumfang der Flächeninhalt (Zielfunktion) zu optimieren ist.
2. Du sollst aus der Bedingung, daß der Umfang fest ist, erkennen, daß und wie die beiden Seitenlängen voneinander abhängen.
3. Mit dieser Information ist die Zielfunktion in Abhängigkeit von nur einer Variablen zu schreiben.
4. Eine Extremwertberechnung ist durchzuführen.
5. das Ergebnis soll interpretiert werden.
Ich hatte Dir, ausgehend von Beispielen mit festen Zahlenwerten, eigentlich schon deutlich den Weg gewiesen.
Wenn Du etwas nicht verstehst oder an einer Stelle hängst, kannst Du gern konkret nachfragen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
Ja aber man muss doch wissen wie groß der Umfang ist, sonst kann man doch garnicht die Zielfunktion aufstellen?
für das Quadrat gilt ja:
A=a²
jedoch Rechteck um:
A=a*b
mit welcher A-Formel muss man denn da jetzt rechnen, die Aufgabenstellung ist doch sehr verwirrend? Ich nehme jedoch an, dass die Quadrat-Formel genommen werden muss, da ja dort laut Aufgabenstellung der Flächeninhalt am größten ist....
Es steht ja auch drin, das man beweisen muss das U > 0 ist, mit U ist eine unbekannte Variable gemeint oder der Umfang??!?!? Ich bin durch die Aufgabenstellung total verwirrt.
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Hallo, laut Aufgabenstellung ist doch der Ausgangspunkt ein Rechteck, also ist dein Ausgangspunkt A=a*b, nächster Schritt für DICH, stelle die Formel u=2a+2b nach b um, stelle dann bitte deine Lösung hier rein, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
> Hallo, laut Aufgabenstellung ist doch der Ausgangspunkt ein
> Rechteck, also ist dein Ausgangspunkt A=a*b, nächster
> Schritt für DICH, stelle die Formel u=2a+2b nach b um,
> stelle dann bitte deine Lösung hier rein, Steffi
2b=u-2a
bzw.
b=u/2 -a
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
> > Hallo, laut Aufgabenstellung ist doch der Ausgangspunkt ein
> > Rechteck, also ist dein Ausgangspunkt A=a*b, nächster
> > Schritt für DICH, stelle die Formel u=2a+2b nach b um,
> > stelle dann bitte deine Lösung hier rein, Steffi
>
>
> 2b=u-2a
> bzw.
> b=u/2 -a
A=a*b
A=a * u/2 - a
A= u/2a - a ???
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Hallo, du solltest Klammern setzen
[mm] A(a)=a(\bruch{u}{2}-a)
[/mm]
[mm] A(a)=\bruch{u}{2}a-a^{2}
[/mm]
so wieder nächster Schritt für DICH, 1. Ableitung bilden (nach a), bedenke, u ist eine Konstante,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
> Hallo, du solltest Klammern setzen
>
> [mm]A(a)=a(\bruch{u}{2}-a)[/mm]
>
> [mm]A(a)=\bruch{u}{2}a-a^{2}[/mm]
>
> so wieder nächster Schritt für DICH, 1. Ableitung bilden
> (nach a), bedenke, u ist eine Konstante,
>
> Steffi
[mm] A'(a)=\bruch{u}{2}-2a
[/mm]
laut "smarty" sollte noch die 2. Ableitung gemacht werden, aber dann würde ja das 'u' wegfallen, oder da diese ja als konstante angesehen wird, somit wäre das dann:
A''(a)=-2a ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 12.03.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo elrak,
> > Hallo, du solltest Klammern setzen
> >
> > [mm]A(a)=a(\bruch{u}{2}-a)[/mm]
> >
> > [mm]A(a)=\bruch{u}{2}a-a^{2}[/mm]
> >
> > so wieder nächster Schritt für DICH, 1. Ableitung bilden
> > (nach a), bedenke, u ist eine Konstante,
> >
> > Steffi
>
> [mm]A'(a)=\bruch{u}{2}-2a[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, ok.
(dreifach hält einfach besser  )
Die Ableitung der Funktion zeigt dir die Steigung in einem bestimmten Punkt auf dem Graphen an. Sollte es sich um einen Extremalpunkt handeln (Hoch- bzw. Tiefpunkt), dann ist die Steigung in diesem Punkt gleich Null. D.h. du darfst nun diese Ableitung A'=0 setzen und nach a auflösen.
> laut "smarty" sollte noch die 2. Ableitung gemacht werden,
> aber dann würde ja das 'u' wegfallen, oder da diese ja als
> konstante angesehen wird, somit wäre das dann:
>
> A''(a)=-2a ???
genau. Da hat der alte Smarty wieder vorgegriffen, ne. Und noch voll daneben ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") - die Ableitung stimmt natürlich nicht, sondern müsste A''=-2 heißen (danke für den Hinweis, Marcel). Weißt du denn, was diese Ableitung zu bedeuten hat?
Viele Grüße
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
d.h. bei der 1. Ableitung --> [mm] A'(a)=\bruch{u}{2}
[/mm]
je nach wenn ich die 2. Ableitung nach a auflöse und die Zahl höher als 0 ist ist diese doch linksgekrümmt und kleiner als 0 rechtsgekrümmt und sollte es genau 0 sein, wäre es ein/der Wendepunkt?!?!?!
Aber die 2. Ableitung ist doch nicht wichtig hier, oder? weil ich soll ja beweisen dass die Aussage U > 0 wahr ist und in der 2. Ableitung ist ja kein "u" mehr vorhanden?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Do 12.03.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo,
nun hast du dich verlaufen, oder ich dich verwirrt. Letzteres tut mir natürlich leid, also eine Erklärung, die das hoffentlich bereinigt.
> d.h. bei der 1. Ableitung --> [mm]A'(a)=\bruch{u}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") deine Ableitung lautete: [mm] A'=\bruch{u}{2}-2a
[/mm]
So, diese sollte Null werden (A'=0), daher: [mm] 0=\bruch{u}{2}-2a [/mm] und somit ist:
[mm] 2a=\bruch{u}{2}\ \Rightarrow\ a=\bruch{u}{4} [/mm] oder viel wichtiger noch:
[mm] \red{u}=4*a
[/mm]
> je nach wenn ich die 2. Ableitung nach a auflöse und die
> Zahl höher als 0 ist ist diese doch linksgekrümmt und
> kleiner als 0 rechtsgekrümmt und sollte es genau 0 sein,
> wäre es ein/der Wendepunkt?!?!?!
Ist der Wert der zweiten Ableitung kleiner Null, dann Hochpunkt, andernfalls Tiefpunkt.
> Aber die 2. Ableitung ist doch nicht wichtig hier, oder?
> weil ich soll ja beweisen dass die Aussage U > 0 wahr ist
> und in der 2. Ableitung ist ja kein "u" mehr vorhanden?!?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") das stimmt nur zur Hälfte! Du solltest gem. Aufgabenstellung schauen, wann deine Fläche maximal wird. Und das tut sie nur, wenn ein Hochpunkt vorliegt. Zweite Ableitung kleiner Null: (Prima) ein Hochpunkt.
Also, wir wissen nun, dass u=4a und das u=2a+2b ist. Setz' das eine in das andere ein und ermittel' noch b.
Viele Grüße
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
u=4a und das u=2a+2b
4a=2a+2b
2b=2a
b=a
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> u=4a und das u=2a+2b
>
> 4a=2a+2b
> 2b=2a
>
> b=a
schreibe doch bitte wenigstens Stichwortartig, was Du warum machst. Am besten wäre natürlich ein Text:
Du hattest ermittelt:
[mm] $$A(a)=a*b=a*(u/2\;-a)=(u/2)*a-a^2\,.$$
[/mm]
Wenn man wollte, könnte man sagen, dass die Fläche $A$ auch vom Parameter [mm] $u\,$ [/mm] abhängt und dann anstatt [mm] $A(a)\,$ [/mm] auch [mm] $A_u(a)$ [/mm] schreiben, aber das nur nebenbei.
Die Funktion [mm] $A(.)\,$ [/mm] ist nun zu maximieren, dazu sucht man zunächst mal nach lokalen Extremstellen. Denn eigentlich sollte man den Definitionsbereich von [mm] $A(.)\,$ [/mm] mitangeben und gegebenenfalls am Ende auch die Randpunkte des Definitionsbereiches untersuchen (der Flächeninhalt eines Rechtecks ist stets [mm] $\ge [/mm] 0$), aber auch das ist jetzt mehr am Rande ...
Du hast nun die Ableitung zu [mm] $A'(a)=(u/2)-2a\,$ [/mm] berechnet. Ferner ist $A''(a)=-2$ sogar für alle [mm] $a\,.$
[/mm]
Nun sucht man nach gewissen [mm] $a_e$ [/mm] ('Extremstellen', bzw. eigentlich zunächst sogar nur 'lokale Extremstellen im Innern des Definitionsbereichs von [mm] $A(.)\,$'), [/mm] wir ersparen uns hier weitere Nummerierungen, da wir eh sehen werden, dass es hier nur eine geben wird. Es soll also [mm] $A'(a_e)=0$ [/mm] gelten, und dies ist genau dann der Fall, wenn [mm] $u/2=2a_e\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$2a_e+2b=4 a_e \gdw a_e=b\,.$$
[/mm]
Dass [mm] $a_e$ [/mm] eine lokale Maximalstelle für $A(.)$ ist, ergibt sich dann wegen [mm] $A(a_e)=-2 [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
P.S.:
Die ganze Aufgabe läßt sich übrigens auch mit Mitteln aus dem 8en (oder 9en) Schuljahr lösen, denn:
[mm] $$A(a)=(u/2)*a-a^2\,.$$
[/mm]
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt man mittels einer Umformung mit quadratischer Ergänzung ablesen kann:
[mm] $$A(a)=(u/2)*a-a^2=-(a^2-(u/2)*a)=-((a-(u/4))^2-(u/4)^2)=-(a-(u/4))^2+(u/4)^2\,.$$
[/mm]
Der Scheitelpunkt [mm] $\,S$, [/mm] welcher hier auch der Extrempunkt ist, hat die Koordinaten [mm] $S(u/4;\,(u/4)^2)\,.$ [/mm] Also nimmt die Funktion [mm] $A(.)\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a=u/4\,$ [/mm] ihr Maximum an, und damit gilt:
$$a=(2a+2b)/4 [mm] \gdw a=b\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 12.03.2009 | | Autor: | elraK |
d.h. da a = b ist kann u wenn nur größer als 0 sein, da z.b. wenn a = -2 wäre es b auch wäre und somit -2 * -2 = 4 oder bei positiven Werten (ja logischerweise sowieso) z. B. 2 * 2 = 4 wäre... und somit ist bewiesen, dass die Aussage für jedes U > 0 wahr ist.
Ich hoffe ich habe es jetzt verstanden und somit die Aufgabe gelöst?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> d.h. da a = b ist kann u wenn nur größer als 0 sein...
darüber brauchst Du Dir keine Gedanken zu machen. Die Aufgabenformulierung lautet:
Weise für jedes $U > 0$ nach (wir haben nun statt [mm] $U\,$ [/mm] immer [mm] $u\,$ [/mm] geschrieben, aber das nur ergänzend der Formalität wegen), dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Umfang [mm] $U\,$ [/mm] maximal ist, wenn es sich um ein Quadrat handelt.
D.h. in der Aufgabe haben wir die 'Universalvoraussetzungen':
Sei $U > 0$ beliebig, aber fest vorgegeben und seien [mm] $a,\,b$ [/mm] die Seiten eines Rechtecks. (Und da [mm] $U\,$ [/mm] der Umfang sein soll, gilt dann [mm] $U\,=2a+2b\,.$)
[/mm]
Nun ist zu zeigen:
Setzt man neben den gegebenen Voraussetzungen voraus, dass das Rechteck ein Quadrat ist, so ist der Flächeninhalt eines jeden Rechtecks, dass den gleichen Umfang $U > 0$ hat, höchstens so groß wie der des Quadrates.
Die oben besprochenen Lösungen liefern eigentlich mehr, nämlich:
Sie liefern sogar, dass, wenn man neben den gegebenen Voraussetzungen voraussetzt, dass das Rechteck ein Quadrat ist, so ist der Flächeninhalt eines jeden Rechtecks - welches kein Quadrat ist und dass den gleichen Umfang $U > 0$ hat - echt kleiner ist als der Flächeninhalt des Quadrates.
Ergänzung:
Wenn man dem genauen Wortlaut der Aufgabenstellung folgt, würde es eigentlich reichen, zu zeigen:
Für jedes $U > 0$ gilt:
Aus [mm] $U=4\tilde{a}=2a+2b\,$ [/mm] folgt [mm] $\tilde{a}^2 \ge ab\,.$ [/mm] Und das sieht man relativ leicht ein:
[mm] $$\tilde{a}^2=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)\,,$$
[/mm]
und jetzt wäre nur noch [mm] $\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2) \ge [/mm] ab$ zu beweisen, was aber zu [mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$ äquivalent ist. Aber [mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$ ist sicherlich stets wahr, also folgt daraus [mm] $\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2) \ge ab\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo, du solltest Klammern setzen
> >
> > [mm]A(a)=a(\bruch{u}{2}-a)[/mm]
> >
> > [mm]A(a)=\bruch{u}{2}a-a^{2}[/mm]
> >
> > so wieder nächster Schritt für DICH, 1. Ableitung bilden
> > (nach a), bedenke, u ist eine Konstante,
> >
> > Steffi
>
> [mm]A'(a)=\bruch{u}{2}-2a[/mm]
>
> laut "smarty" sollte noch die 2. Ableitung gemacht werden,
> aber dann würde ja das 'u' wegfallen, oder da diese ja als
> konstante angesehen wird, somit wäre das dann:
>
> A''(a)=-2a ???
wenn Du [mm] $A'(a)=\frac{u}{2}-2a$ [/mm] hast und das nochmal nach [mm] $a\,$ [/mm] differenzierst, so erhälst Du
$$A''(a)=0-2=-2 [mm] \underset{i.a.}{\not=}-2a\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 12.03.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Marcel,
da stimmt natürlich, habe ich übersehen und werde meine Antworten korrigieren 
Viele Grüße
Smarty
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:45 Do 12.03.2009 | | Autor: | SchUdo |
Fläche F = a * b
F = a * (a+x) 'x positiv oder negativ
F = a² + a*x
F' = 0 + a*1 ' Differenzial
Ein Extremwert für den Flächeninhalt besteht nur bei a, also F = a*a.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Fläche F = a * b
> F = a * (a+x) 'x positiv oder negativ
> F = a² + a*x
> F' = 0 + a*1 ' Differenzial
> Ein Extremwert für den Flächeninhalt besteht nur bei a,
> also F = a*a.
wieso differenzierst Du nach [mm] $x\,$? [/mm] Ehrlich gesagt, wenn mir jemand solche eine Rechnung zuspielen würde, würde ich sie einfach durchstreichen. [mm] $x\,$ [/mm] darf positiv oder negativ sein, aber wenn [mm] $x\,$ [/mm] negativ ist, sollte $x [mm] \ge [/mm] -a$ gelten.
Dann:
Wenn bei Dir [mm] $F=F(x)\,$ [/mm] ist, dann wäre [mm] $F'(x)=a\,,$ [/mm] also nur [mm] $=0\,,$ [/mm] wenn [mm] $a=0\,$ [/mm] wäre... Mhm...
(Jedenfalls scheint es mir so, dass Du, obwohl das eigentlich nicht richtig ist, [mm] $a\,$ [/mm] als Konstante betrachtest. Oder was ist mit der Nebenbedingung?)
Wenn bei Dir $F=F(a)$ ist, dann ist [mm] $F'(a)=2a+x\,,$ [/mm] also $F'(a)=0$ dann und nur dann, wenn $2a+x=0$... Mhm...
Dass $2a+2(a+x)=const=U$ sein soll, dem schenkst Du hier überhaupt keine Beachtung. Obwohl das hier, was alleine schon von der 'Geometrie her einleuchtend sein sollte', von Bedeutung ist.
Es tut mir Leid, aber ehrlich gesagt kann ich Deine Rechnung so ziemlich gar nicht nachvollziehen (wenn ich mich irre, dann schreibe mal bitte einen erklärenden Text dazu, ich kann mir jedenfalls nicht vorstellen, dass Du dann dort Mittel benutzt, die i.a. schon in der Schule zur Verfügung stehen) und da sie zudem einer nicht unbedeutenden Voraussetzung keine Beachtung schenkt, scheint mir das ganze da oben ziemlich falsch. Jedenfalls ist es für mich absolut undurchsichtig, was Du da und warum Du wie rechnest.
Natürlich kann man den Ansatz:
Sei [mm] $a\,$ [/mm] die Länge der einen Seite und sei $a+x$ die Länge der anderen Seite (mit $x [mm] \ge [/mm] -a$) verfolgen, und dann
$$F(x):=a*(a+x)$$
auf Extremstellen untersuchen. Aber auch hier wird die Nebenbedingung $2a+2(a+x)=U=const$ eine Rolle spielen, und diese sollte man ins Spiel bringen, bevor man nach [mm] $x\,$ [/mm] differenziert, also starten mit:
[mm] $$F(x)=\left(\frac{U}{2}-(a+x)\right)(a+x)=\frac{U(a+x)}{2}-(a+x)^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow F'(x)=\frac{U}{2}-2(a+x)$$
[/mm]
(Begründung:
Denn insbesondere erkennt man erst wegen $2a+2(a+x)=U=const$, dass [mm] $\,a$ [/mm] eigentlich auch eine von [mm] $x\,$ [/mm] abhängige Variable bzw. eine Funktion in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] ist, in Wahrheit ist also [mm] $a=a(x)\,,$ [/mm] und strenggenommen müsste oben also wegen $2a+2(a+x)=U$ stehen:
[mm] $$F(x)=a(x)*(a(x)+x)\,.$$
[/mm]
Beachtet man dies nicht, so würde man [mm] $a\,$ [/mm] als Konstante auffassen und sich wundern, dass mit $F(x)=a*(a+x)$ aber doch $F'(x)=0$ die Gleichung $a=0$ implizierte. In Wahrheit ist aber [mm] $F(x)=a(x)*(a(x)+x)=(a(x))^2+x*a(x)\,,$ [/mm] also nach der Produkt- und Kettenregel folgt
[mm] $$F'(x)=2a(x)*a'(x)+a(x)+x*a'(x)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $a=a(x)=\frac{U-2x}{4}$ [/mm] ist, und dabei ist [mm] $U=const\,.$)
[/mm]
und damit
$$F'(x)=0 [mm] \gdw U=4a+4x\,,$$
[/mm]
was wegen $U=2a+2(a+x)$ dann $2a+2(a+x)=4a+4x$ und damit $x=0$ impliziert. Für [mm] $x=0\,$ [/mm] haben wir also eine (lokale) Extremstelle für $F$ vorliegen. Hier haben wir noch nirgends nachgerechnet, welcher Art sie ist (es wäre eigentlich noch zu prüfen, ob es eine Maximalstelle oder Minimalstelle ist, und dann, wenn man herausgefunden hat, dass es sich um eine Maximalstelle handelt, wäre auch noch kurz zu begründen, warum es eine globale Maximalstelle ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 06:25 Fr 13.03.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
> Fläche F = a * b
> F = a * (a+x) 'x positiv oder negativ
> F = a² + a*x
> F' = 0 + a*1 ' Differenzial
> Ein Extremwert für den Flächeninhalt besteht nur bei a,
> also F = a*a.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dies hier ist völlig falsch, beachte auch Marcels Hinweise, ich fasse mich kurz etwas kürzer:
Du bearbeitest hier eine völlig andere fragestellung als vorgegeben, nämlich: unter welcher Bedingung an die zweite Seite bei einer vorgegebenen Seite a der Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks maximal ist.
Allein schon, dies mit der Differentialrechnung zu tun, ist etwas - übers Ziel hinausgeschossen.
Du hast also die feste Seite a, die variable Seite a+x, differenzierst nach x und erhältst F'(x)=a.
Der Schluß, den Du hieraus ziehst, daß das Maximum bei a liegt, ist dann abenteuerlich.
Der Schluß, den man hier ziehen sollte, wäre: F ist monoton steigend für alle [mm] x\in \IR [/mm] (wobei noch drüber nachzudenken wäre, ob es sinnvoll ist, beliebige neg. x zuzulassen, aber das nur am Rande), hat also keinen lokalen Extremwert.
Das ist ja auch jedem Menschen einsichtig. Verlängere ich die eine Zaunseite immer weiter, wird die eingezäunte Fläche immer größer. Niemand staunt.
Du hast hier also zwei Möglichkeiten: entweder Du führst unter Beachtung der Nebenbedingung die Zielfunktion F ordnungsgemäß auf eine Variable zurück.
Wenn man übereifrig ist, kann man natürlich auch einen kleinen Lagrangeansatz machen, und Differentialrechnung im Zweidimensionalen betreiben - aber das wäre ziemlich übertrieben.
Erwähnenswert ist noch die Lösung ohne Differentialrechnung mit Mitteln der Mittelstufe, indem die Zielfunktion in Scheitelpunktform gebracht wird.
Gruß v. Angela
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