Bestimmung von Variablen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:30 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Void09 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie a, b, c [mm] \in \IR [/mm] in g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3} [/mm] - r [mm] \vektor{7 \\ a \\ b}, [/mm] E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{c \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 5} [/mm] + t [mm] \vektor{ -1 \\ 9 \\ 3} [/mm] so, dass gilt:
a) g liegt in E,
b) g ist parallel zu E, liegt aber nicht in E,
c) g schneidet E. |
Hallo!
Ich benötige einen Ansatz für die oben genannte Aufgabe. An sich muss man die Variablen doch nur so bestimmen, dass am Ende die jeweiligen Bedingungen für die Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene erfüllt sind (bei Teilaufg. a z.B.: r, s, t linear abhängig und p - q, s, t linear abhängig).
Nur wie komme ich auf die 3 Variablen? Ich schätze, mit Hilfe eines LGS, allerdings fällt mir dazu im moment irgendwie nichts ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie a, b, c [mm]\in \IR[/mm] in g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\3}[/mm]
> - r [mm]\vektor{7 \\ a \\ b},[/mm] E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{c \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + s [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 5}[/mm] + t [mm]\vektor{ -1 \\ 9 \\ 3}[/mm] so,
> dass gilt:
> a) g liegt in E,
> b) g ist parallel zu E, liegt aber nicht in E,
> c) g schneidet E.
> Hallo!
>
> Ich benötige einen Ansatz für die oben genannte Aufgabe. An
> sich muss man die Variablen doch nur so bestimmen, dass am
> Ende die jeweiligen Bedingungen für die Lage zwischen einer
> Geraden und einer Ebene erfüllt sind (bei Teilaufg. a z.B.:
> r, s, t linear abhängig und p - q, s, t linear abhängig).
> Nur wie komme ich auf die 3 Variablen? Ich schätze, mit
> Hilfe eines LGS, allerdings fällt mir dazu im moment
> irgendwie nichts ein.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
a) g liegt in E
bestimme c,s,t aus:
[mm]\vektor{c \\ 1 \\ 0}+ s \vektor{1 \\ 3 \\ 5} + t \vektor{ -1 \\ 9 \\ 3}=\vektor{1 \\ 2 \\3}[/mm]
und
a,b aus:
$s [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 5} [/mm] + t [mm] \vektor{ -1 \\ 9 \\ 3}=\vektor{7 \\ a \\ b}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Void09 |
Ich stehe etwas auf dem Schlauch. c, s, t habe ich bestimmen können:
$c = [mm] \frac{2}{9}$
[/mm]
$s = [mm] -\frac{1}{9}$
[/mm]
$t = [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
Aber wie komme ich mit Hilfe der zweiten Gleichung auf a und b?
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Hallo,
> Ich stehe etwas auf dem Schlauch. c, s, t habe ich
> bestimmen können:
>
> [mm]c = \frac{2}{9}[/mm]
> [mm]s = -\frac{1}{9}[/mm]
> [mm]t = \frac{2}{3}[/mm]
>
> Aber wie komme ich mit Hilfe der zweiten Gleichung auf a
> und b?
s und t einfach in 2 Gleichungen einsetzen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Void09 |
Danke, jetzt habe ich verstanden, wie es geht. Aus der 2. Gleichung erhält man das LGS:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & | & 7 \\ 3 & 9 & | & a \\ 5 & 3 & | & b }$
[/mm]
In Stufenform gebracht hat man:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & | & 7 \\ 0 & 12 & | & a-21 \\ 0 & 8 & | & b-35 }$
[/mm]
Woraus man die Gleichungen
[mm] $s=\frac{b-35}{8}$ [/mm] und [mm] $s=\frac{1-21}{12}$ [/mm] erhält. Hier für $s = [mm] -\frac{1}{9}$ [/mm] einsetzen und nach $a$ bzw. $b$ auflösen.
Die noch fehlenden Variablen sind somit:
$a = [mm] \frac{59}{3}$ [/mm]
$b = [mm] \frac{307}{9}$
[/mm]
Es sind zwar für eine Schulbuch Aufgabe recht komische Werte, gezeichnet liegt die Gerade allerdings exakt in der Ebene.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Void09 |
Schade, dass man nicht seine eigene Frage beantworten kann, deswegen als Mitteilung:
Bei Aufgabe (b) kann man den gleichen Lösungsweg nehmen wie bei Aufgabe (a), das einzige, was man verändern muss, ist die Variable $c$, damit $p-q, s, t$ linear unabhängig sind, im Gegensatz zu (a), bei der diese Vektoren linear abhängig sein mussten.
Man wählt also für $c$ eine beliebige Zahl, wobei $c [mm] \not= \frac{2}{9}$ [/mm] und hat eine parallele Ebene zur Geraden $g$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Void09 |
Bei dieser Aufgabe muss nur sichergestellt werden, dass $r, s, t$ linear unabhängig sind. $c$ kann beliebig gewählt werden.
Ein Vektor, der sicher linear unabhängig ist, ist der orthogonale Vektor zu $s$ und $t$. Man kann diesen mit einem (unterbestimmten) LGS wie folgt bestimmen:
$ [mm] x_1 [/mm] | [mm] x_2| x_3 [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ -1 & 9 & 3 } [/mm] $
bzw. in Stufenform
[mm] $\pmat{1&3&5\\0&12&8}$
[/mm]
woraus sich für [mm] $\vec{r}$ [/mm] ergibt:
[mm] $\vektor{-3p\\-\frac{2}{3}p\\p}$.
[/mm]
Da [mm] $x_1 [/mm] = 7$ gelten muss, wählen wir für $p = [mm] -\frac{7}{3}$. [/mm] Dann ergibt sich als orthogonaler Vektor:
[mm] $\vektor{7\\\frac{14}{9}\\-\frac{7}{3}}$
[/mm]
Kann jemand die Frage als beantwortet markieren? Mir selber ist das anscheinend nicht erlaubt.
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