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| Aufgabe | | Für k>0 ist die Funktion [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] k*(-x^3+3x+4). [/mm] Bestimme k so, dass der Graph von [mm] f_{k} [/mm] mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Flächeninhalt 45 einschließt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.Ich würde gerne den Weg wissen wie ich diese Aufgabe berechne.
Soll ich die Tangente t(x)= m*x+b mit der funktion gleichsetzten um schnittstellen herauszubekommen und eigentlich müsste da ja auch was mit der faktorregel zu tun haben und wenn ich das gleichgesetzt hab, könnte ich dann nicht die sTammfunktion bilden um dann an die Steigung der Tangente zu kommen.
Ich habe so einige Ideen bin mir aber ech nicht sicher, ich würde mich über Hilfe sehr freuen..
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Hallo Schattenelfe und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Für k>0 ist die Funktion [mm]f_{k}[/mm] gegeben durch [mm]f_{k}(x)[/mm] =
> [mm]k*(-x^3+3x+4).[/mm] Bestimme k so, dass der Graph von [mm]f_{k}[/mm] mit
> der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Flächeninhalt
> 45 einschließt.
>
> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen
> soll.Ich würde gerne den Weg wissen wie ich diese Aufgabe
> berechne.
Als erstes machst du dir eine Zeichnung, z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Soll ich die Tangente t(x)= m*x+b mit der funktion
> gleichsetzten um schnittstellen herauszubekommen und
> eigentlich müsste da ja auch was mit der faktorregel zu tun
> haben und wenn ich das gleichgesetzt hab, könnte ich dann
> nicht die sTammfunktion bilden um dann an die Steigung der
> Tangente zu kommen.
>
> Ich habe so einige Ideen bin mir aber ech nicht sicher, ich
> würde mich über Hilfe sehr freuen..
Die Tangente im Hochpunkt hat stets die Steigung 0 und geht durch [mm] (x_H|y_H).
[/mm]
Du musst also nur noch den zweiten Schnittpunkt berechnen und kannst dann das Integral ermitteln.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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1. Wenn m=0 ist, was ich verstehe, müsste die funktion ja die selbe steigung haben wie die tangente also f'(0), oder?
2. Und wie komm ich auf den Punkt in dem die Tangente die STeigung 0 hat und den graph berührt?
3. Und wie rechen ich dann den zweiten Schnittpunkt aus?
Das Integral dann bilden etc. das könnte ih wohl aber das versteh ich noch nicht so ganz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 03.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1. Wenn m=0 ist, was ich verstehe, müsste die funktion ja
> die selbe steigung haben wie die tangente also f'(0),
> oder?
Ja, aber die Tangente im Hochpunkt [mm] (x_{H}/f_{k}(x_{H})) [/mm] hat die Steigung 0, ist also eine waagerechte Gerade, in diesem Fall [mm] t(x)=f_{k}(x_{H}) [/mm]
> 2. Und wie komm ich auf den Punkt in dem die Tangente die
> STeigung 0 hat und den graph berührt?
das ist der Hoch- bzw. Tiefpunkt.
> 3. Und wie rechen ich dann den zweiten Schnittpunkt aus?
> Das Integral dann bilden etc. das könnte ih wohl aber das
> versteh ich noch nicht so ganz.
Nun muss gelten [mm] f_{k}(x)=t(x), [/mm] also
[mm] k(-x^3+3x+4)=f_{k}(x_{H})
[/mm]
also [mm] k(x³+3x+4)=k(x_{H}³+3x_{H}+4)
[/mm]
Dann hast du die x-Koordinaten [mm] x_{S_{1;2}} [/mm] der Schnittpunkte der Tangente mit dem Graphen
Jetzt musst du dann noch das Integral
[mm] \integral_{x_{S_{1}}}^{x_{S_{2}}}{t(x)-f_{k}(x)dx}=45 [/mm] berechnen und daraus das k bestimmen.
Marius
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Vielen Dank, nun hab ichs verstanden..Ging ja echt super schnell..
Gruß
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