Beta-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 06.07.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Die Zufallsgröße X sei stetig Beta-verteilt mit:
[mm] f_X(x)=\bruch{x^{r-1}*(1-x)^{s-1}}{\beta(r,s)},
[/mm]
füe [mm] x\in(0,1), [/mm] r,s>1 und
[mm] \beta(r,s)=\integral_{0}^{1}{x^{r-1}(1-x)^{s-1} dx}=\bruch{\Gamma(r)\Gamma(s)}{\Gamma(r+s)}.
[/mm]
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X. |
Hallo,
ich habe folgende Fragen zu dieser Aufgabe:
1.) Gilt nicht:
[mm] \beta(r,s)=\integral_{0}^{1}{x^{r-1}(1-x)^{s-1} dx}=\integral_{0}^{1}{x^{r-1} dx}-\integral_{0}^{1}{x^{r+s-2} dx}=\bruch{1}{r}-\bruch{1}{s+r-1} [/mm] ?
Wo kommen die [mm] \Gamma-Funktionen [/mm] her?
2.) Dann ist doch auch:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{1}{x*\bruch{x^{r-1}*(1-x)^{s-1}}{\beta(r,s)} dx}=\bruch{1}{\beta(r,s)}*\integral_{0}^{1}{x^{r}(1-x)^{s-1} dx}=\bruch{1}{\beta(r,s)}*\left(\integral_{0}^{1}{x^{r} dx}-\integral_{0}^{1}{x^{r+s-1} dx}\right)=\bruch{1}{\bruch{1}{r}-\bruch{1}{s+r-1}}*\left(\bruch{1}{1+r}-\bruch{1}{r+s}\right)=\bruch{r(s+r-1)}{s-1}*\bruch{s-1}{(r+s)(r+1)}=\bruch{r(s+r-1)}{(r+1)(r+s)}.
[/mm]
Das sieht allerdings sehr verschieden zu wikipedia aus. Wo ist mein Fehler oder wie kann ich das noch vereinfachen?
Es wäre schön, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mo 06.07.2009 | | Autor: | vivo |
> ich habe folgende Fragen zu dieser Aufgabe:
>
> 1.) Gilt nicht:
> [mm]\beta(r,s)=\integral_{0}^{1}{x^{r-1}(1-x)^{s-1} dx}=\integral_{0}^{1}{x^{r-1} dx}-\integral_{0}^{1}{x^{r+s-2} dx}=\bruch{1}{r}-\bruch{1}{s+r-1}[/mm]
> ?
> Wo kommen die [mm]\Gamma-Funktionen[/mm] her?
also wie kommst du denn bitte von
[mm]x^{r-1}(1-x)^{s-1}[/mm] auf
[mm]x^{r-1} - x^{r+s-2}[/mm]
du kannst doch nicht einfach die klammer weglassen ...
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 06.07.2009 | | Autor: | DerGraf |
Hallo vivo,
dein Einwand ist durchaus gerechtfertigt. Ich hatte ausversehen bei meiner Rechung den Exponenten mit in die Klammer gezogen und den Fehler einfach nicht gesehen.
Nun zu meinem neuen und hoffentlich richtigen Lösungsansatz:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{1}{x\cdot{}\bruch{x^{r-1}\cdot{}(1-x)^{s-1}}{\beta(r,s)} dx}=\bruch{1}{\beta(r,s)}\cdot{}\integral_{0}^{1}{x^{r}(1-x)^{s-1} dx}=\bruch{1}{\beta}*\bruch{\Gamma(r+1)\Gamma(s)}{\Gamma(r+s+1)}=\bruch{1}{\beta}\bruch{r*\Gamma(r)\Gamma(s)}{(r+s)\Gamma(r+s)}=\bruch{\beta}{\beta}\bruch{r}{r+s}=\bruch{r}{r+s}
[/mm]
Geht das so?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 07.07.2009 | | Autor: | luis52 |
> Geht das so?
>
Es geht so.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 07.07.2009 | | Autor: | DerGraf |
Na dann bin ich ja beruhigt :)
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
DerGraf
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