Betrag < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 19.10.2010 | | Autor: | ana1 |
| Aufgabe | | |a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich vermute, dass man das irgendwie mit der fallunterscheidung a<0 bzw. a>0 probieren muss, hab aber leider so eine aufgabe noch nie gemacht und weiß nicht so genau wie das mathematich korrekt gehen soll!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sind a und b komplex oder reell?
rechne im komplexen fall die Beträge rechts und links mit a=a1+ia2 und b entsprechend aus.
im reelen Fall Fallunterscheidung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 19.10.2010 | | Autor: | ana1 |
es handelt sich um reelle zahlen
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Hallo nochmal,
> es handelt sich um reelle zahlen
Ok, dann streiche das "Quark" in meiner Antwort (dachte, es geht um komplexe Zahlen).
Du kannst das per Fallunterscheidung machen oder wesentlich kürzer gem. dem in meiner anderen Antwort skizzierten Ansatz:
Beide Seiten sind positiv, quadriere also (ist deswegen dann eine Äquivalenzumformung) usw.
Es läuft ähnlich wie unten darauf hinaus, äquivalent zu zeigen: [mm] $2ab\le [/mm] 2|ab|$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 19.10.2010 | | Autor: | ana1 |
das verstehe ich leider dann trotydem nicht. also wie sieht das dann aus, wenn ich quadriert habe...
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Hallo nochmal,
> das verstehe ich leider dann trotydem nicht. also wie sieht
> das dann aus, wenn ich quadriert habe...
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
[mm]|a+b|\le |a|+|b|[/mm]
[mm]\gdw |a+b|^2\le (|a|+|b|)^2[/mm]
Beachte: [mm]|x|^2=\left|x^2\right|=x^2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
eine Ergänzung bzw. Alternative.
> |a + b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> ich vermute, dass man das irgendwie mit der
> fallunterscheidung a<0 bzw. a>0 probieren muss,
Das ist Quark !!
> hab aber
> leider so eine aufgabe noch nie gemacht und weiß nicht so
> genau wie das mathematich korrekt gehen soll!
>
>
Beide Seiten in [mm]|a+b|\le|a|+|b|[/mm] sind positiv, du darfst also äquivalent quadrieren:
[mm]\gdw |a+b|^2\le(|a|+|b|)^2[/mm]
Das vereinfache nun (denke daran, dass für [mm]z\in\IC[/mm] gilt: [mm]|z|^2=z\cdot{}\overline{z}[/mm]
Das führt letzlich äquivalent darauf, zu zeigen, dass [mm]a\overline{b}+\overline{a}b\le 2|ab|[/mm] ist
Das ist mit einer kleinen Substitution [mm]z=a\overline{b}[/mm] äquivalent zu ...
Dann setze [mm]z=x+iy[/mm] ein und es steht da!
Das erspart viel Schreibarbeit ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Du kannst es so machen, wobei Du benötigst, dass
(*) [mm] $\pm [/mm] x [mm] \le [/mm] |x|$ ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
ist.
Fall 1: a+b [mm] \ge [/mm] 0. Dann ist |a+b|= a+b und aus (*) erhalten wir:
|a+b|=a+b [mm] \le [/mm] |a|+|b|
Fall 2: a+b < 0. Jetzt machst Du weiter.
FRED
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