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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe große Probleme mit dem Unterschied zwischen Betrag, Metrik und Norm.
Also der Betrag $|a|$ einer reellen Zahl a ist der ja der Abstand von a zur 0, und der Betrag $|a-b|$ von zwei reellen Zahlen ist ihr Abstand zueinander.
Nun haben wir die Metrik $d(a,b)$ und das ist auch der Abstand der Zahlen a und b.
Wo ist der Unterschied?
Und die Norm, die hat doch auch irgendwas mit Abstand zu tun, oder?
Dann hab ich auch noch Schwierigkeiten mit der Euklidischen Norm.
Im Buch (Kaballo) wird das definiert als [mm] |v|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}v_i}
[/mm]
Das verwirrt mich irgendwie, denn z.B. bei Wikipedia ist die Euklidische Norm als $||v||$ geschrieben, also mit einem Doppelstrich, und Normen werden später im Buch auch mit einem Doppelstrick drumrum definiert.
Und irgendwie kenne einfache Betragsstriche auch nur bei reellen und komplexen Zahlen, aber nicht bei Vektoren.
Ist das jetzt das gleiche, also $|v|$ und $||v||$, oder gibts da einen Unterschied?
In einem Beispiel (das ich hier auch gestellt habe) soll z.B. gezeigt werden, dass $d(x,y)=|x-y|$ für [mm] x,y\in\IR^n [/mm] eine Metrik ist, und wenn ich auf $|x-y|$ nun die Definition [mm] |v|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}v_i} [/mm] anwende, dann hab ich ja nun wieder diese euklidische Norm [oder doch den euklidischen Abstand? Aber der hat bei Wikipedia auch diese Doppelstriche...] und nun weiß ich nicht, ob ich die Rechenregeln für Normen benutzen muss, oder die für Betrag (wegen $|x-y|$) ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Ja, und dann gibt ja noch so Sachen wie "$|...|$ definiert eine Metrik" oder "Die Norm $||...||$ definiert eine Metrik", mit diesen Aussagen komm ich auch nicht so wirklich zurecht...
Ich hoffe, ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 06.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Zunächst einmal solltest du die Definitionen von ![[]](/images/popup.gif) normierten Räumen und metrischen Räumen anschauen. Die sind wichtig.
Vor allem Solltest du dir klar machen:
1) Die reellen bzw. komplexen Zahlen bilden mit der Betragsfunktion [mm] $x\mapsto|x|$ [/mm] einen normierten Raum. Der Betrag ist also eine spezielle Norm, aber es gibt viele andere verrückte Normen.
2) Jeder normierte Raum wird durch [mm] $d(x,y):=\|x-y\|$ [/mm] ein metrischer Raum. Dies nennt man die von der Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] induzierte Metrik. Die Umkehrung gilt aber nicht, d.h. nicht jeder metrische Raum ist auch ein normierter Raum.
Prinzipiell betrachtet man in der Analysis normierte Räume [mm] $(X,\|\cdot\|)$ [/mm] und die Norm wird mit zwei Strichen geschrieben. Im Spezialfall [mm] $X=\IR$ [/mm] oder [mm] $X=\IC$ [/mm] schreibt man, falls [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] auch wirklich die "Betragsnorm" ist, auch einfach [mm] $|\cdot\|$, [/mm] also mit nur einem Strich. Wenn du also einen Strich siehst, dann ist i.A. immer der reelle/komplexe Betrag gemeint, wenn du zwei Striche siehst dann sollte aus dem Zusammhang ersichtlich werden, welche Norm gemeint ist. Aber vergiss nicht, dass das nur Notation ist, wie man etwas schreibt ist im Grunde egal und auch vollkommen willkürlich. Das was ich geschrieben habe ist jedenfalls "Standart".
> Also der Betrag [mm]|a|[/mm] einer reellen Zahl a ist der ja der
> Abstand von a zur 0, und der Betrag [mm]|a-b|[/mm] von zwei reellen
> Zahlen ist ihr Abstand zueinander.
Das ist zwar eine gute Anschauung, macht aber streng mathematisch keinen Sinn. Der Betrag einer reellen Zahl $x$ ist einfach das Maximum von $x$ und $-x$. Nicht mehr und nicht weniger. Es stimmt zwar, dass dies genau dem Abstand von der Null entspricht, aber eben nur wenn ich die reelle Zahlengerade auf eine ganz bestimmte weise hinmale und schon eine Abstandsfunktion definiert ist.
Wenn man aber nur die Körper der reellen Zahlen hat mit seiner Anordnung, dann gibt es keinen natürlichen Abstandsbegriff. Eine Metrik ist ein verallgemeinerter "Abstandsbegriff" (das ist auch wieder so eine mathematisch völlig leere Aussage, aber sie weckt eine bestimmte geometrische Anschauung an die man sich halten kann. Anschaung ist wichtig, aber unmathematisch!)
> In einem Beispiel (das ich hier auch gestellt habe) soll
> z.B. gezeigt werden, dass [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] für [mm]x,y\in\IR^n[/mm]
> eine Metrik ist, und wenn ich auf [mm]|x-y|[/mm] nun die Definition
> [mm]|v|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}v_i}[/mm] anwende,
> dann hab ich ja nun wieder diese euklidische Norm [...]
In diesem Zusammenhang, da [mm] $x,y\in\IR^n$ [/mm] sind, macht der Betrag keinen Sinn. Normalerweise sollte aus dem Zusammenhang ersichtlich sein, welche Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] gemeint ist, aber in diesem Fall ist es egal, da die Aussage für jede beliebe Norm stimmt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Danke für die Antwort.
> 2) Jeder normierte Raum wird durch [mm]d(x,y):=\|x-y\|[/mm] ein
> metrischer Raum. Dies nennt man die von der Norm [mm]\|\cdot\|[/mm]
> induzierte Metrik. Die Umkehrung gilt aber nicht, d.h.
> nicht jeder metrische Raum ist auch ein normierter Raum.
Hmm, ok.
Aber so ganz versteh ich das immer noch nicht.
Ich hab z.B. irgendwo gelesen "die Metrik, definiert durch die Euklidische Norm..."
Irgendwie verstehe ich das nicht.
Die Euklidische Norm ist $||x||$, ich kann ja schlecht $d(x,y)=||x||$ setzen, das passt doch nicht...
Wieso müsste es dann nicht heißen "die Metrik, definiert durch den Euklidischen Abstand..."
Irgendwie finde ich, dass das mehr Sinn macht, denn der Euklidische Abstand ist ja $||x-y||$, dann könnte ich doch setzen $d(x,y)=||x-y||$
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich hab z.B. irgendwo gelesen "die Metrik, definiert durch
> die Euklidische Norm..."
Hm, sicher? Also ich kenne es vor allem als induziert - die von der Nrom induzierte Metrik.
> Irgendwie verstehe ich das nicht.
Ich weiß auch nicht, was es daran zu verstehen gibt.
> Die Euklidische Norm ist [mm]||x||[/mm], ich kann ja schlecht
> [mm]d(x,y)=||x||[/mm] setzen, das passt doch nicht...
Macht ja niemand.
> Wieso müsste es dann nicht heißen "die Metrik, definiert
> durch den Euklidischen Abstand..."
Vielleicht unglücklich ausgedrückt? Vielleicht hast du dich falsch erinnert? Belege bitte!
> Irgendwie finde ich, dass das mehr Sinn macht, denn der
> Euklidische Abstand ist ja [mm]||x-y||[/mm], dann könnte ich doch
> setzen [mm]d(x,y)=||x-y||[/mm]
Aha, also der euklidische Abstand von x und y ist definiert als [m]||x-y||[/m], oder zauberst du den Abstand aus dem Hut? Was ist ein Abstand? Wie definierst du den? Die Formalisierung davon ist genau daas, was eine Metrik ist. Da spart man sich halt den Zwischenscritt und sagt - die von der Norm induzierte Metrik ist [m]d(x,y)=||x-y||[/m]. Bam! Bam! Bam!
Ein bisschen Felxibilität in den Definitionen und Wendungen bitte, sonst steckt man immer fest! Solange du aber nicht damit ankommst, dass die Farben in deinem Buch mal so, mal so sind =) Da fällt mir ein: "Was ist gelb, krumm, normiert und vollständig?" - "Ein Bananachraum." (Ich will gelb als Farbe haben!)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Ich hab z.B. irgendwo gelesen "die Metrik, definiert durch
> > die Euklidische Norm..."
>
> Hm, sicher? Also ich kenne es vor allem als induziert - die
> von der Nrom induzierte Metrik.
Also im Kaballo steht z.B.:
"Auf einem normierten Raum $(E,|| .||)$ wird durch $d(x,y):=||x-y||$ für $x,y [mm] \in [/mm] E$ eine Metrik definiert."
> > Die Euklidische Norm ist [mm]||x||[/mm], ich kann ja schlecht
> > [mm]d(x,y)=||x||[/mm] setzen, das passt doch nicht...
>
> Macht ja niemand.
>
> > Wieso müsste es dann nicht heißen "die Metrik, definiert
> > durch den Euklidischen Abstand..."
>
> Vielleicht unglücklich ausgedrückt? Vielleicht hast du
> dich falsch erinnert? Belege bitte!
Also das war im Kaballo im Zusammenhang mit Kugeln [mm] K_\epsilon(x):=\{y \in X | d(y,x) < \epsilon\} [/mm] und der p-Norm.
Für p=2 ist die p-Norm die Euklidische Norm: [mm] ||.||_2=|.|
[/mm]
Da steht dann:
"Die definierten [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] sind nur im Fall der Euklidischen Norm "rund" (und im [mm] \IR^2 [/mm] natürlich Kreise), für [mm] p=\infty [/mm] und [mm] K=\IR [/mm] hat man Quadrate im [mm] \IR^2 [/mm] und Würfel im [mm] \IR^3."
[/mm]
Ich weiß nicht, vielleicht hab ich das ja falsch verstanden.
Aber ich dachte, die meinen damit, dass wenn die Metrik d(y,x) in der Kugel die Euklidische Norm ist, dass man dann einen Kreis bekommt.
Aber wie gesagt, irgendwie verstehe ich da das mit der Norm nicht, ich würde vom Gefühl den Euklidischen Abstand nehmen, weil ich kann ja nicht $d(y,x)=||x||$ setzen.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also im Kaballo steht z.B.:
>
> "Auf einem normierten Raum [mm](E,|| .||)[/mm] wird durch
> [mm]d(x,y):=||x-y||[/mm] für [mm]x,y \in E[/mm] eine Metrik definiert."
Steht da "definiert durch die Norm"? Nein, da steht "wird durch <Definition> eine Metrik definiert.". Da steht ganz klipp und klar, wie d definiert ist.
> > > Die Euklidische Norm ist [mm]||x||[/mm], ich kann ja schlecht
> > > [mm]d(x,y)=||x||[/mm] setzen, das passt doch nicht...
> >
> > Macht ja niemand.
Macht auch Kaballo nicht in der Definition!
> > > Wieso müsste es dann nicht heißen "die Metrik, definiert
> > > durch den Euklidischen Abstand..."
> >
> > Vielleicht unglücklich ausgedrückt? Vielleicht hast du
> > dich falsch erinnert? Belege bitte!
>
> Also das war im Kaballo im Zusammenhang mit Kugeln
> [mm]K_\epsilon(x):=\{y \in X | d(y,x) < \epsilon\}[/mm] und der
> p-Norm.
>
> Für p=2 ist die p-Norm die Euklidische Norm: [mm]||.||_2=|.|[/mm]
Also die Abkürzung definiert. Gut, den Sprachgebrauch des Buches aufgenommen.
> Da steht dann:
>
> "Die definierten [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] sind nur im Fall der
> Euklidischen Norm "rund" (und im [mm]\IR^2[/mm] natürlich Kreise),
> für [mm]p=\infty[/mm] und [mm]K=\IR[/mm] hat man Quadrate im [mm]\IR^2[/mm] und
> Würfel im [mm]\IR^3."[/mm]
Schonmal gezeichnet, wie die Einheitskreisscheiben aussehen? Eben genau so - die euklidische gibt Kugeln/Kreise, während die Maximunsnorm Quadrate gibt. Das ist keine übermäßig präzise Def., das dient der Anschauung, wie sich die Einheistkugeln/scheiben unterscheiden von undserer Anschauung her.
> Ich weiß nicht, vielleicht hab ich das ja falsch
> verstanden.
Definitionen mit anschaulichen Beispielen verwechselt?
> Aber ich dachte, die meinen damit, dass wenn die Metrik
> d(y,x) in der Kugel die Euklidische Norm ist, dass man dann
> einen Kreis bekommt.
Nö, sie meinen, dass [mm]K_1(x):=\{y \in X | d(y,x) < 1\}[/mm] für die von der euklidischen Norm induzierte Metrik eben eine Kugel ist.
> Aber wie gesagt, irgendwie verstehe ich da das mit der Norm
> nicht, ich würde vom Gefühl den Euklidischen Abstand
> nehmen, weil ich kann ja nicht [mm]d(y,x)=||x||[/mm] setzen.
Und wer - außer dir - schlägt das vor? Keine zitierte Definition legt das nur ansatzweise nahe! Oder kommt irgendwo [m]d(0,y)=||y||[/m] vor? Vielleicht verwrrt dich das?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 07.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Also ich hab jetzt mal ne Nacht über diese ganze Thema geschlafen, aber irgenwie will das einfach nicht in meinen Kopf rein...
> > Also im Kaballo steht z.B.:
> >
> > "Auf einem normierten Raum [mm](E,|| .||)[/mm] wird durch
> > [mm]d(x,y):=||x-y||[/mm] für [mm]x,y \in E[/mm] eine Metrik definiert."
>
> Steht da "definiert durch die Norm"? Nein, da steht "wird
> durch <Definition> eine Metrik definiert.". Da steht ganz
> klipp und klar, wie d definiert ist.
Aber wenn da steht "wird durch <Definition> eine Metrik definiert.", ist das dann nicht gleichbedeutend mit "Metrik, die durch eine Norm definiert ist"?
Die Metrik wird doch schließlich <Definition> defininiert, und das ist doch gerade eine Norm.
Außerdem steht ja auch noch das Definitonszeichen zwischen der Abbildung d(x,y) [was ja dann die Metrik ist] und der Norm.
> Schonmal gezeichnet, wie die Einheitskreisscheiben
> aussehen? Eben genau so - die euklidische gibt
> Kugeln/Kreise, während die Maximunsnorm Quadrate gibt. Das
> ist keine übermäßig präzise Def., das dient der
> Anschauung, wie sich die Einheistkugeln/scheiben
> unterscheiden von undserer Anschauung her.
Nein, ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Ich weiß nicht, wie oder auf was ich da die Euklidische Norm anwenden soll...
Ich kenn nur das Bild aus'm Buch...
> > Aber ich dachte, die meinen damit, dass wenn die Metrik
> > d(y,x) in der Kugel die Euklidische Norm ist, dass man dann
> > einen Kreis bekommt.
>
> Nö, sie meinen, dass [mm]K_1(x):=\{y \in X | d(y,x) < 1\}[/mm] für
> die von der euklidischen Norm induzierte Metrik eben eine
> Kugel ist.
Was ist denn das, die von der euklidischen Norm induzierte Metrik?
Wie sieht Abbildungsvorschrift dafür aus?
Ich kann damit irgendwie gar nix anfangen...
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 07.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Also ich versteh irgendwie überhaupt nicht das Problem. Wir haben jetzt schon zehn mal geschrieben:
Wenn du eine Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] auf einem Vektorraum $X$ hast, dann ist $(X,d)$ mit [mm] $d:X\times X\ni (x,y)\mapsto d(x,y):=\|x-y\|\in\IR_+$ [/mm] ein metrischer Raum. Diese Metrik $d$ heißt die "von der Norm induzierte/definierte/erzeugt/..." Metrik - fertig aus. Das sind einfach nur Bezeichnungen, da gibt es nichts zu verstehen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 So 07.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hmm....
Ja, ok, ich denke, so einigermaßen hab ich das verstanden.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber der hat bei Wikipedia
> auch diese Doppelstriche...]
Hm, du solltest vielleicht wirklich dne ganzen Artikel lesen, ich zitiere mal:
"Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge."
Die letzten beiden Wörter verlinken auf den dir bekannten Betrag. Dann mal weitergeklickt, und wir finden:
"Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen."
Also, Betrag ist Norm, Norm ist nicht Betrag (da nicht multiplikativ!). Mit einer Norm kann man eine Metrik machen - nicht jede Metrik kommt allerdings von einer Norm!
SEcki
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