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Forum "Algebra" - Betrag einer komplexen Zahl...
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Betrag einer komplexen Zahl...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Do 20.04.2006
Autor: JuliaF

Aufgabe
Es sei j eine komplexe Wurzel des Polynoms f = [mm] t^2 [/mm] + t +1 [mm]\in \IZ[/mm][t], K=IQ(j) und R=IZ(j). Zeigen Sie:
(a) Für alle x=u + vj [mm] \in \IQ [/mm] (j) gilt
[mm] |x|^2 [/mm] = x [mm] \overline {x}[/mm] = [mm] u^2 [/mm] - uv + [mm] v^2 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dieser Aufgabe verstehe ich die Funktion von j nicht so ganz. Ich habe veruscht x [mm] \overline {x}[/mm] auszurechnen, wobei [mm] \overline {x}[/mm] einfach nur das konjugierte zu x ist, oder?  Dann steht da sowas wie [mm] u^2 [/mm] + vju - uvj - [mm] v^2 j^2 [/mm] Von hier komm ich jedoch nciht weiter, selbst wenn ich über das Polynom j ausrechne, ergibt sich für j was krummes wie [mm] j=-1/2 \pm \wurzel{-3/4} [/mm]. Kann mir das jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Betrag einer komplexen Zahl...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Do 20.04.2006
Autor: andreas

hi

> Es sei j eine komplexe Wurzel des Polynoms f = [mm]t^2[/mm] + t +1
> [mm]\in \IZ[/mm][t], K=IQ(j) und R=IZ(j). Zeigen Sie:
>  (a) Für alle x=u + vj [mm]\in \IQ[/mm] (j) gilt
> [mm]|x|^2[/mm] = x [mm]\overline {x}[/mm] = [mm]u^2[/mm] - uv + [mm]v^2[/mm]
>  Bei dieser Aufgabe verstehe ich die Funktion von j nicht so ganz. Ich habe veruscht x [mm]\overline {x}[/mm] auszurechnen, wobei [mm]\overline {x}[/mm] einfach nur das konjugierte zu x ist, oder?

genau. hierbei ist aber $u, v [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] bei diesen zahlen ändert sich beim konjugieren also nichts, es ergibt sich damit für [mm] $\overline{x} [/mm] = [mm] \overline{u + vj} [/mm] = [mm] \uverline{u} [/mm] + [mm] \overline{v}\overline{j} [/mm] = u + [mm] v\overline{j}$ [/mm] nach bekannten rechenregeln für die komplexe konjugation.


> Dann steht da sowas wie [mm]u^2[/mm] + vju - uvj - [mm]v^2 j^2[/mm]

rechen das nocmla nach, ich denke du hast hier $j = [mm] \overline{j}$ [/mm] verwendet, was aber nicht richtig ist. wenn du das getan hast solltest du einen ausdruck erhalten, in dem so etwas wie $j + [mm] \overline{j} \; [/mm] (= 2 [mm] \textrm{Re}\, [/mm] j)$ und [mm] $j\overlien{j} \; (=|j|^2)$ [/mm] vorkommt. dies größen kannst du aber mit den nullstellen, die du ausgerechnet hast angeben und diese größen sind auch unabhängig davon welche der beiden nullstellen du wählst. setzt du die werte dafür ein so solltest du genau das gewünschte erhalten.

probiere das mal, wenn du dich weiterkommst kannst du gerne nochmal nachfragen

grüße
andreas

Bezug
                
Bezug
Betrag einer komplexen Zahl...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Do 20.04.2006
Autor: JuliaF

Vielen vielen Dank, ich hab mir das j immer als i gedacht gehabt, aber im endeffekt ist es ja nur wieder eine komplexe Zahl.... was ja schon sei j eine komplexe Wurzel besagt... nun hab ichs hinbekommen. War ja gar nicht mal so schwer...
ich habs leider als frage geschrieben und kann das nciht mehr ändern :( und auch nicht löschen :(

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