Betrag einer komplexen Zahl < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 19.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo zusammen!
Gegeben ist die folgende komplexe Größe
[mm] \underline{J}_{z,1}(y)=\bruch{\underline{I}_{0}p}{2a}\bruch{cosh(py)}{sinh(pd)}, [/mm] mit [mm] p=\bruch{1+j}{\delta}, \delta=\wurzel{\bruch{2}{\omega\kappa\mu_{0}}}, \underline{I}_{0}=\hat{i}_{0} [/mm] und [mm] j\in\IC.
[/mm]
Gesucht ist nun der Betrag der komplexen Größe (die Amplitude der Wirbelstromverteilung), die sich laut Musterlösung zu
[mm] \vmat{\underline{J}_{z,1}(y)}=\bruch{\hat{i}_{0}}{2a}\bruch{\wurzel{2}}{\delta}\wurzel{\bruch{cosh(2\bruch{y}{d})+cos(2\bruch{y}{d})}{cosh(2\bruch{y}{d})-cos(2\bruch{y}{d})}} [/mm] ergibt.
Ich würde nun gerne wissen, wie man auf das Ergebnis der Musterlösung kommt. Ich habe zwar viele Formeln vorliegen, allerdings bringe ich es nicht wirklich zusammen. Im Buch habe ich u.a. den folgenden Satz gefunden, der mir möglicherweise weiterhelfen könnte:
"Jede Gleichung mit trigonometrischen Funktionen geht über in die entsprechende Gleichung mit Hyperbelfunktionen, wenn man cos(x) durch cosh(x) und sin(x) durch jsinh(x) ersetzt."
Über einen hilfreichen Tipp/Ansatz würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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Hallo Marcel08,
> Hallo zusammen!
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> Gegeben ist die folgende komplexe Größe
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> [mm]\underline{J}_{z,1}(y)=\bruch{\underline{I}_{0}p}{2a}\bruch{cosh(py)}{sinh(pd)},[/mm]
> mit [mm]p=\bruch{1+j}{\delta}, \delta=\wurzel{\bruch{2}{\omega\kappa\mu_{0}}}, \underline{I}_{0}=\hat{i}_{0}[/mm]
> und [mm]j\in\IC.[/mm]
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> Gesucht ist nun der Betrag der komplexen Größe (die
> Amplitude der Wirbelstromverteilung), die sich laut
> Musterlösung zu
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> [mm]\vmat{\underline{J}_{z,1}(y)}=\bruch{\hat{i}_{0}}{2a}\bruch{\wurzel{2}}{\delta}\wurzel{\bruch{cosh(2\bruch{y}{d})+cos(2\bruch{y}{d})}{cosh(2\bruch{y}{d})-cos(2\bruch{y}{d})}}[/mm]
> ergibt.
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> Ich würde nun gerne wissen, wie man auf das Ergebnis der
> Musterlösung kommt. Ich habe zwar viele Formeln vorliegen,
> allerdings bringe ich es nicht wirklich zusammen. Im Buch
> habe ich u.a. den folgenden Satz gefunden, der mir
> möglicherweise weiterhelfen könnte:
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> "Jede Gleichung mit trigonometrischen Funktionen geht über
> in die entsprechende Gleichung mit Hyperbelfunktionen, wenn
> man cos(x) durch cosh(x) und sin(x) durch jsinh(x)
> ersetzt."
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Benutze die Eulersche identiät
[mm]e^{j*b*x}=\cos\left(b*x\right)+j*\sin\left(b*x\right)=\cosh\left(j*b*x\right)+\sinh\left(j*b*x\right)[/mm]
Und
[mm]e^{a*x}=\cosh\left(a*x\right)+\sinh\left(a*x\right)[/mm]
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> Über einen hilfreichen Tipp/Ansatz würde ich mich freuen;
> vielen Dank!
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> Viele Grüße, Marcel
Gruss
MathePower
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