Betrag und Argument kompl Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Betrag und das Argument von:
[mm] \frac{1}{\frac{1}{R}+C_1*\omega*i}+\frac{1}{C_2*\omega*i} [/mm] |
Ok ich hab mal ne allgemeine Frage zu dieser Aufgabenstellung:
Wenn ich mit R erweitere bekomme ich ja erstmal den doppelbruch weg also:
[mm] \frac{1}{\frac{1}{R}+C_1*\omega*i} [/mm] * R = [mm] \frac{R}{1+C_1*\omega*i*R}
[/mm]
Damit habe ich ja: [mm] \frac{R}{1+C_1*\omega*i*R}+\frac{1}{C_2*\omega*i}
[/mm]
so jetzt müsste ich ja mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern um den Nenner Reell zu beklommen. Damit ich den Imaginärteil vom Reellteil trennen kann.
Muss ich jetzt erst beide Brüche Gleichnahmig machen und dann mit der konugiert komplexen Zahl Erweitern, oder gibt es da einen anderen Trick?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 So 23.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Vertax,
hier sollte man erst mal einen Ausdruck bilden, in dem dann in Zähler und Nenner je eine komplexe Größe stehen. Da man die Winkelanteile aus Zähler und Nenner getrennt voneinander betrachten kann, muss man danach nicht unbedingt den Nenner reell machen. Man kann im Komplexen bleiben.
Mit dem Ausdruck
[mm] z = \bruch{a + jb}{ c + jd} [/mm] bekommt man für das Quadrat des Betrages
[mm] |z |^2 = \bruch{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} [/mm] und für den Phasenwinkel mit Hilfe des Arcustangens
[mm] \varphi = \arctan \bruch{b}{a} - \arctan \bruch{d}{c} [/mm]
Damit hat man sich das Reellmachen des Nenners erspart.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok hier mal meine Rechnung:
$ [mm] \frac{1}{\frac{1}{R}+C\cdot{}\omega\cdot{}i}+\frac{1}{C\cdot{}\omega\cdot{}i} [/mm] $
So erstmal * R um Doppelbruch zu eliminieren:
$ [mm] \frac{1}{\frac{1}{R}+C\cdot{}\omega\cdot{}i} [/mm] $ * R = $ [mm] \frac{R}{1+C\cdot{}\omega*i\cdot{}R} [/mm] $
So jetzt mit konugiert komplexer Zahl mal nehmen:
[mm] \frac{R*(1-C_1\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)}{(1+C\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)(1-C\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)} [/mm] = $ [mm] \frac{R-C*\omega\cdot{}i\cdot{}R^2}{1+C^2\cdot{}\omega^2\cdot{}R^2} [/mm] $
Mit i Erweitern um Nenner reell zu machen:
[mm] \frac{1}{C\omega*i} [/mm] |*i = [mm] \frac{i}{-c\omega}
[/mm]
Daraus habe ich ja [mm] \frac{i}{-C*\omega}+\frac{R-C\omega*i*R^2}{1+C^2*\omega^2*R^2}
[/mm]
So jetzt kann ich ja auch i trennen:
[mm] \frac{1}{-c\omega}*i+\frac{R-C*\omega\*R^2}{1+C^2*\omega^2*R^2}*i
[/mm]
Doch wie bestimme ich jetzt Betrag und Argument
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Hallo Vertax,
> Ok hier mal meine Rechnung:
>
> [mm]\frac{1}{\frac{1}{R}+C\cdot{}\omega\cdot{}i}+\frac{1}{C\cdot{}\omega\cdot{}i}[/mm]
>
> So erstmal * R um Doppelbruch zu eliminieren:
> [mm]\frac{1}{\frac{1}{R}+C\cdot{}\omega\cdot{}i}[/mm] * R =
> [mm]\frac{R}{1+C\cdot{}\omega*i\cdot{}R}[/mm]
>
> So jetzt mit konugiert komplexer Zahl mal nehmen:
>
> [mm]\frac{R*(1-C_1\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)}{(1+C\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)(1-C\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R)}[/mm]
> =
> [mm]\frac{R-C*\omega\cdot{}i\cdot{}R^2}{1+C^2\cdot{}\omega^2\cdot{}R^2}[/mm]
>
>
>
> Mit i Erweitern um Nenner reell zu machen:
> [mm]\frac{1}{C\omega*i}[/mm] |*i = [mm]\frac{i}{-c\omega}[/mm]
>
>
> Daraus habe ich ja
> [mm]\frac{i}{-C*\omega}+\frac{R-C\omega*i*R^2}{1+C^2*\omega^2*R^2}[/mm]
Soweit sieht das richtig aus, auch wenn oben verschiedene "C" in den Brüchen standen.
Also gem. der Aufgabenstellung im ersten post wärest du bei
[mm]\frac{R-C_1\cdot{}\omega\cdot{}i\cdot{}R^2}{1+C_1^2\cdot{}\omega^2\cdot{}R^2}-\frac{i}{C_2\cdot{}\omega}[/mm]
Ich setze mal stillschweigend voraus, dass die anderen beteiligten Größen [mm]C_1,C_2,R,\omega[/mm] reell sind?!
Davon stand nix in der Aufgabenstellung
>
> So jetzt kann ich ja auch i trennen:
>
> [mm]\frac{1}{-c\omega}*i+\frac{R-C*\omega\*R^2}{1+C^2*\omega^2*R^2}*i[/mm] ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Oh wei oh wei ...
Wie willst du denn im 2ten Bruch aus dem Zähler, der ja eine Summe aus [mm]R[/mm] und [mm]C_1\cdot{}\omega^2\cdot{}i\cdot{}R^2}[/mm] das [mm]i[/mm] ausklammern?
Es steckt doch gar nicht im ersten Summanden [mm]R[/mm] drin ?!?!??!
[mm]R-C_2\omega i R^2=\left(-iR-C\omega R^2\right)\cdot{}i[/mm]
Wenn du die beiden Brüche (mit den reellen Nennern - so die beteiligten Größen reell sind ...) addieren willst, solltest du gleichnamig machen.
Finde wie in der 7 Klasse in der Schule einen Hauptnenner und erweitere entsprechend ...
>
> Doch wie bestimme ich jetzt Betrag und Argument
Gleichnamig machen durch entsprechendes Erweitern, dann die Brüche addieren und in die Form [mm]x+yi[/mm] bringen und die entspr. Formeln benutzen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok also:
[mm] \frac{i*(1+c^1*\omega^2*R^2)+(R-C*\omega*i*R^2)(-C*\omega)}{(-c*\omega)(1+C^2*\omega^2*R^2)}
[/mm]
=
[mm] \frac{i+*C^2*\omega^2*R*i-C*\omega*R+C^2*\omega^2*i*R^2}{-c*\omega-C^3*\omega^3*R^2}
[/mm]
So nur wie bringe ich das jetzt in die richtige form?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 23.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Vertax,
Bruchrechnen ist wohl nicht gerade Deine Stärke  .
Wie können im Zähler 4 Terme stehen, wenn doch nur drei Summanden nach dem Bilden des Hauptnenners da sind.
Fange doch noch mal in Ruhe an bei
[mm] \bruch{R}{1 + i \omega R C_1} + \bruch{1}{i \omega C_2}[/mm]
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok also
[mm] \frac{R}{1+C_1*\omega*i*R)}+\frac{1}{C_2*\omega*i)}
[/mm]
[mm] \frac{C_2*\omega*i*R+(1+C_1*\omega*i*R)}{C_2*\omega*i+C_1*C_2*\omega^2*i^2*R}
[/mm]
durch [mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] \frac{C_2*\omega*i*R+(1+C_1*\omega*i*R)}{C_2*\omega*i-C_1*C_2*\omega^2*R}
[/mm]
So und jetzt einfach mit [mm] -C_2*\omega*i [/mm] erweitern und dann imaginärteil von reellen trennen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 23.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
jetzt solltest Du der Übersichtlichkeit halber die Ausdrücke in Zähler und Nenner nach Real- und Imaginärteil trennen und dann kannst Du die Gleichungen anwenden, die ich Dir bereits aufgeschrieben habe.
Du kannst auch den Nenner konjugiert komplex erweitern, aber bitte dann mit dem konjugiert komplexen des Gesamtnenners und nicht mur mit dessen Imaginärteil. Das gibt eine ordentliche Rechnerei.
Viele Grüße,
Infinit
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