Betrag von Omega mit Umweg < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Myrinne |
| Aufgabe | Hallo!
Ich soll folgende Aufgabe lösen und darf nur den Umweg über k-Menge/k-Permutation/k-Tupel nehmen.
"Ein Kasten für 12 Flaschen Fruchtsaft kann mit einer Auswahl aus 10 Sorten gefüllt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?"
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Mein Ansatz:
Da Wiederholung möglich ist, kann man von den drei genannten nur den k-Tupel verwenden. Da bei ihm aber die Reihenfolge berücksichigt wird, in der Aufgabe aber egal ist, ist der Betrag Omegas zu hoch.
Kann mir jemand eine Formel nennen, mit der ich berechnen kann, wieviele Möglichkeiten zu viel sind?
Vielen lieben Dank,
Myrinne
P.S. Also, falls jemand den Beweis meiner Bemühungen braucht -n=12,k=2
Menge von Omega wären bei k-Tupel 6,191736422⋅10^10
Aber eben MIT Berücksichtigung der Reihenfolge...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Betrag-von-Omega-mit-Umweg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 09.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und gute Nacht,
es ist,
wenn ich mich nicht irre,
ein Klassiker:
"Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge".
Mit $n=10$ und $k=12$(!)
Hier ist $k>$(!)$n$
Macht nicht´s.
${{10+12-1} [mm] \choose [/mm] 12}={21 [mm] \choose [/mm] 12}={ nn [mm] \choose [/mm] kk }$
Mit $nn=21$ und $kk=12$ und $nn>kk$.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Myrinne |
Hallo!
Danke schonmal für deine Antwort, genau so soll ichs ja aber eben nicht machen; sondern den Umweg über k-Tupel gehen und dann diejenigen, die zuviel sind, da Reihenfolge beachtet wird, abziehen.
Ich weiß aber nicht, wie ich herausfinde, wie viele zuviel sind, darauf bezieht sich die Frage.
Vielen Dank,
Myrinne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 12.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
"Ein Kasten für 12 Flaschen Fruchtsaft kann mit einer Auswahl aus 10 Sorten gefüllt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?"
Es gibt 10 Sorten: Sorte 0, Sorte 1, Sorte 3, ...,Sorte 8, Sorte 9.
Diese sollen auf den 12 verschieden Plätzen des Kastens stehen,
alle Sorten können mehrfach aber auch gar nicht vorkommen,
jedoch am Schluß muss der Kasten voll Flaschen sein.
Auf Platz 1 kann eine Flasche der Sorte 0, oder Sorte 1, oder ... oder Sorte 9 stehen und
auf Platz 2 kann eine Flasche der Sorte 0, oder Sorte 1, oder ... oder Sorte 9 stehen und
...
auf Platz 12 kann eine Flasche der Sorte 0, oder Sorte 1, oder ... oder Sorte 9 stehen,
insgesamt gibt es
[mm] $10*10*10*\ldots *10=10^{12}$
[/mm]
unterschiedliche Platzbelegungen des Kastens.
Denkt man sich den Kasten jetzt so auseinandergeschitten,
daß die einzelnen Plätze in einer Reihe stehen so,
daß Patz 1 ganz links steht, neben ihm Platz 2, usw. und schließlich Platz 12 ganz rechts und legt man auf die Plätze der entstandenen Kette statt einer Fruchtsaftflasche einen Zettel,
auf dem die Sortennummer steht,
so entspricht jede unterschiedliche Platzbelegung des Kastens einem 12-Tupel der Zahlen 0-9.
Davon gibt es (s.o.) [mm] $10^{12}$.
[/mm]
Wenn man statt auf die unterschiedlichen Platzbelegungen (nur) auf die unterschiedlichen Sortenanzahlen abzielt,
verringert sich diese Anzahl auf $293930={21 [mm] \choose [/mm] 12}$.
Gleichwertig ist daß Problem,
alle nichtnegativen ganzzahligen Lösungen der folgenden Gleichung zu finden:
[mm] $x_{0}+x_{1}+\ldots +x_{9}=12$.
[/mm]
Da $12$ eine summe von zwölf Einsen ist kann man, unter Auslassung der '+'-Zeichen auf der linken Seite, schreiben:
$111111111111=zwoelf$.
Und nun fügt man neun senkrechte Striche auf der linken Seite ein[/b]
[mm] $\|\|\|\|\|\|\|\|\|111111111111=zwoelf$
[/mm]
soll dann bedeuten:
[mm] $x_{0}=x_{1}=\ldots =x_{8}=0,x_{9}=12$ [/mm] und
[mm] $1\|\|\|\|\|\|\|\|\|11111111111=zwoelf$ [/mm]
soll dann bedeuten:
[mm] $x_{0}=1,x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{8}=0,x_{9}=11$
[/mm]
usw.
Wir haben das Sortenanzahlenproblem jetzt transformiert
auf die Aufgabe,
die zwölf Ziffern '1' der Seite links vom Gleichheitszeichen auf die neun plus zwölf Positionen links vom Gleichheitszeichen zu stellen.
Diese Aufgabe löst man wie folgt:
Man beschriftet einundzwanzig Kugeln mit den Zahlen 1 bis 21,
wirft die Kugeln in eine Lottotrommel und zieht ohne Zurücklegen 12 Kugeln.
Dafür gibt es (Stichwort "12 aus 21") ${21 [mm] \choose [/mm] 12}$ Möglichkeiten.
Die in der Zahlen auf den in der Trommel vebliebenen Kugeln markieren übrigens die Positionen der senkrechten Striche auf der linken Seite der entsprechenden Gleichung.
Um es kurz zu machen:
"Es gibt 293930 Möglichkeiten einen Kasten für 12 Flaschen mit 10 Sorten zu füllen, wenn nur die Anzahl der Flaschen der jeweiligen Sorten betrachtet wird."
Schönen Gruß
Karsten
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