Betrag von Quaternionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei h: H -> H ein R-Algebra-Homomorphismus. Beweisen sie für jedes Quaternion q die folgende Aussage.
|h(q)| = |q| |
Mahlzeit.
Obiges Problem nervt mich langsam. Es muß entweder trivial sein oder ich bin auf´m falschen Dampfer.
|q| = [mm] \wurzel{q*\bar q} = \wurzel{\bar q*q} = \wurzel{q*q} = \wurzel{a^2+b^2+c^2+d^2} [/mm] per Def.
und das soll gleich dem Betrag einer Abbildung sein. OK. Und das funktioniert ja auch, sogar in unendlich vielen Varianten. Aber ich wüsste jetzt nicht wie ich das formal beweisen soll. Das ganze ist ja ein Homomorphismus, mit h: H -> H ein Endomorhismus . Wenn ich annehmen dürfte das das ganze auch noch ein Isomorphismus ist wäre es einfach, aber ich hab keine Ahnung ob ich das darf, wobei halt schon irgendwie in der Aufgabe steht q = h(q) nur noch mit Betragsstrichen versetzt und dann hätte man aber für |q| schon wieder zwei mögliche Abbildungen, heißt es wäre surjektiv und hätte keine eineindeutige Zuordnung. Somit kein Isomorphismus. Andererseits ist |q| eineindeutig und da es |h(q)| heißt wäre die Abbildung auch eineindeutig, völlig Wurst wie jetzt das Vorzeichen von q oder h(q). aussieht, hauptsache q=h(q). Ich dreh mich im Kreis. Übersehe ich ein Kriterium? Wenn ja welches? Ein kleiner Tipp wäre sehr hilfreich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Di 20.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei h: H -> H ein R-Algebra-Homomorphismus. Beweisen sie
> für jedes Quaternion q die folgende Aussage.
> |h(q)| = |q|
> Mahlzeit.
> Obiges Problem nervt mich langsam. Es muß entweder
> trivial sein oder ich bin auf´m falschen Dampfer.
>
> |q| = [mm]\wurzel{q*\bar q} = \wurzel{\bar q*q} = \wurzel{q*q} = \wurzel{a^2+b^2+c^2+d^2}[/mm]
> per Def.
>
> und das soll gleich dem Betrag einer Abbildung sein. OK.
> Und das funktioniert ja auch, sogar in unendlich vielen
> Varianten. Aber ich wüsste jetzt nicht wie ich das formal
> beweisen soll. Das ganze ist ja ein Homomorphismus, mit h:
> H -> H ein Endomorhismus . Wenn ich annehmen dürfte das
> das ganze auch noch ein Isomorphismus ist wäre es einfach,
> aber ich hab keine Ahnung ob ich das darf, wobei halt schon
> irgendwie in der Aufgabe steht q = h(q) nur noch mit
> Betragsstrichen versetzt und dann hätte man aber für |q|
> schon wieder zwei mögliche Abbildungen, heißt es wäre
> surjektiv und hätte keine eineindeutige Zuordnung. Somit
> kein Isomorphismus. Andererseits ist |q| eineindeutig und
> da es |h(q)| heißt wäre die Abbildung auch eineindeutig,
> völlig Wurst wie jetzt das Vorzeichen von q oder h(q).
> aussieht, hauptsache q=h(q). Ich dreh mich im Kreis.
> Übersehe ich ein Kriterium? Wenn ja welches? Ein kleiner
> Tipp wäre sehr hilfreich.
Du musst die Eigenschaften eines R-Algebra-Homomorphismus benutzen, z.B.
[mm] h(q_1q_2) =h(q_1)h(q_2) [/mm] .
Aus dieser Gleichung bekommst du [mm] $h(q^{-1}) [/mm] = [mm] (h(q))^{-1}$, [/mm] und damit [mm] $|q|=1\implies [/mm] |h(q)|=1$.
Das ist doch schon die halbe Miete. Nun musst du die Behauptung nur noch für reelle q nachweisen, denn es gilt ja
[mm] h(q) = h(|q|* (q/|q|)) = h(|q|) * h((q/|q|) \implies |h(q)| = | h(|q|)| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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