Betragsableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Morgen
f(x) = [mm] x^2 [/mm] * |x|
Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung von betragsableitungen habe.
Kann mir jemand erklären wie man den Betrag |x| ableitet?
Danke
Gruss DInker
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Zerlege die Funktion in zwei Teilfunktionen gemäß der Definition für die Betragsfunktion.
Dann kannst Du beide Teilfunktionen separat ableiten. Dazu musst Du die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ separat untersuchen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich versuche mich gerade im Skript schlau zu machen über die Betragfsunktion
Da steht
abs'(x) = [mm] \bruch{lxl}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{lxl} [/mm] = sign (x); falls x nicht null ist
Aber das hat ja nichts mit Teilfunktionen zu tun...
Wäre echt dankbar, wenn mir jemand dieses Beispiel vorlösen könnte, damit ich es bei den nächsten Aufgaben alleine versuchen kann
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 02.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuche mal diese Definition des  Betrages einer rellen Zahl zu nutzen.
Dann wird
[mm] |x|=\begin{cases}x,&\mbox{für }x\ge0\\-x,&\mbox{für }x<0\end{cases}
[/mm]
Diese beiden Teilfunktionen kannst du ja ohne Probleme differenzieren, betrachte nur die Stelle x=0 gesondert, wie schon erwähnt wurde.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Rex
Fall 1:
[mm] x^2 [/mm] * (-x) = - [mm] x^3 [/mm] = [mm] -3x^2
[/mm]
Fall 2:
[mm] x^2 [/mm] * (x) = [mm] 3x^2
[/mm]
Und was muss ich jetzt machen?
Danke
Gruss DInker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 02.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Jetzt musst du noch zeigen, dass die Ableitung an der Stelle x=0 auch noch definiert ist, also der linksseitige und der Rechtsseiteige Grenzwert übereinstimmen.
Dazu betrachte mal die Folgen
[mm] a_{rechts}=0+\bruch{1}{n} [/mm] und berechne
[mm] \limes_{n\to\infty}3\left(0+\bruch{1}{n}\right)^{2} [/mm] für den rechtsseitigen Grenzwert und
[mm] a_{links}=0-\bruch{1}{n} [/mm] und berechne
[mm] \limes_{n\to\infty}-3\left(0-\bruch{1}{n}\right)^{2} [/mm] für den linksseitigen Grenzwert
Stimmen beide Grenzwerte überein, ist [mm] f(x)=x^{2}*|x| [/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar.
Marius
P.S. |x| ist an der Stelle x=0 nämlich nicht differenzierbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
> Hallo
>
> Jetzt musst du noch zeigen, dass die Ableitung an der
> Stelle x=0 auch noch definiert ist, also der linksseitige
> und der Rechtsseiteige Grenzwert übereinstimmen.
>
> Dazu betrachte mal die Folgen
>
> [mm]a_{rechts}=0+\bruch{1}{n}[/mm] und berechne
> [mm]\limes_{n\to\infty}3\left(0+\bruch{1}{n}\right)^{2}[/mm] für
> den rechtsseitigen Grenzwert und
>
> [mm]a_{links}=0-\bruch{1}{n}[/mm] und berechne
> [mm]\limes_{n\to\infty}-3\left(0-\bruch{1}{n}\right)^{2}[/mm] für
> den linksseitigen Grenzwert
>
> Stimmen beide Grenzwerte überein, ist [mm]f(x)=x^{2}*|x|[/mm] auch
> an der Stelle x=0 differenzierbar.
Wie kommst du auf diese Folge? Sehe den Zusammenhang mit der Aufgabe nicht.
>
> Marius
>
> P.S. |x| ist an der Stelle x=0 nämlich nicht
> differenzierbar
Wie sieht denn nun mein Schlussresultat aus?
Danke
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Wie kommst du auf diese Folge? Sehe den Zusammenhang mit
> der Aufgabe nicht.
Hier wurde eine Folge gewählt, deren Grenzwert gegen unseren kritischen Punkt [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ geht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Jetzt musst du noch zeigen, dass die Ableitung an der
> Stelle x=0 auch noch definiert ist, also der linksseitige
> und der Rechtsseiteige Grenzwert übereinstimmen.
>
> Dazu betrachte mal die Folgen
>
> [mm]a_{rechts}=0+\bruch{1}{n}[/mm] und berechne
> [mm]\limes_{n\to\infty}3\left(0+\bruch{1}{n}\right)^{2}[/mm] für
> den rechtsseitigen Grenzwert und
>
> [mm]a_{links}=0-\bruch{1}{n}[/mm] und berechne
> [mm]\limes_{n\to\infty}-3\left(0-\bruch{1}{n}\right)^{2}[/mm] für
> den linksseitigen Grenzwert
>
> Stimmen beide Grenzwerte überein, ist [mm]f(x)=x^{2}*|x|[/mm] auch
> an der Stelle x=0 differenzierbar.
Damit bin ich nicht einverstanden ! Wenn man diesen Weg gehen will, muß man zeigen:
Für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in (0, [mm] \infty) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] 0 und jede Folge [mm] (y_n) [/mm] in ( - [mm] \infty,0) [/mm] mit [mm] y_n \to [/mm] 0 gilt:
die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f'(y_n) [/mm] sind vorhanden und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f'(y_n) [/mm]
Die differenzierbarkeit von f in x = 0 kann man so zeigen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0 }= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2|x|}{x } [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x|x| [/mm] = 0$
Damit ist f in x = 0 differenzierbar und $f'(x) = 0$
FRED
>
> Marius
>
> P.S. |x| ist an der Stelle x=0 nämlich nicht
> differenzierbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:57 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
g(u) = u * (ln (|u|) -1)
Übungsserie 9 - 5c)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> g(u) = u * (ln (|u|) -1)
>
>
>
> Übungsserie 9 - 5c)
Und ? Was ist zu tun ? Frage ?
"Übungsserie 9 - 5c) " hilft ungemein
FRED
|
|
|
|
