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Ich versuche rauszufinden, in welchen Punkten (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] f(x,y):=|xy| partielll bzw. total differenzierbar ist.
Also ich habe zuerst die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] df/dx=\begin{cases} |y|, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ -|y|, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] df/dy=\begin{cases} |x|, & \mbox{für } y\ge0 \mbox{ } \\ -|x|, & \mbox{für } y<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Wie muss man weiter verfahren, um die geforderten Eigenschaften zu überprüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 24.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich versuche rauszufinden, in welchen Punkten (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> f(x,y):=|xy| partielll bzw. total differenzierbar ist.
Hallo,
kommst du nicht günstiger, wenn du die Angelegenheit mit Polarkoordinaten regelst
[mm] x=r*cos\phi
[/mm]
[mm] y=r*sin\phi
[/mm]
[mm] xy=0,5r^2*sin(2\phi)
[/mm]
Gruß Abakus
> Also ich habe zuerst die partiellen Ableitungen gebildet:
>
> [mm]df/dx=\begin{cases} |y|, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ -|y|, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]df/dy=\begin{cases} |x|, & \mbox{für } y\ge0 \mbox{ } \\ -|x|, & \mbox{für } y<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Wie muss man weiter verfahren, um die geforderten
> Eigenschaften zu überprüfen?
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:43 Mo 25.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo,
> kommst du nicht günstiger, wenn du die Angelegenheit mit
> Polarkoordinaten regelst
> [mm]x=r*cos\phi[/mm]
> [mm]y=r*sin\phi[/mm]
> [mm]xy=0,5r^2*sin(2\phi)[/mm]
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
irgendwie erschließt sich mir dieser Ansatz nicht so ganz. Inwieweit helfen mir die Polarkoordinaten, den Betrag unter Kontrolle zu bekommen?
Hier ist das Signum der Funktion doch immer noch abhängig von [mm]\phi[/mm], oder übersehe ich da etwas?
Ich wäre diese Aufgabe ähnlich wie Heureka89 angegangen und hätte den Betrag zunächst aufgelöst:
f(x,y)= |xy| = [mm] \begin{cases} xy, & \mbox{für } sign(x) = sign(y) \\ -xy, & \mbox{für } sign(x) \not= sign(y)\end{cases}
[/mm]
Damit erhält man (wie oben):
[mm] f_x [/mm] (x,y) = |y| und [mm] f_y(x,y) [/mm] = |x|
(wenn ich mich jetzt nicht vertan habe)
Und die Betragsfunktionen sind zwar im Nullpunkt nicht stetig, aber existieren auf ganz [mm]\IR[/mm], weshalb f partiell differenzierbar ist.
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Bei der totalen Differenzierbarkeit verstehe ich bislang allerdings leider nur Bahnhof.
Ich muss hier, wenn ich die Definition richtig verstehe einen Vektor [mm]a \in \IR^2[/mm] und eine vektorwertige Funktion [mm]\delta[/mm] konstruieren, so dass in der Nähe eines beliebigen Punktes [mm]x_0 \in \IR[/mm] gilt:
[mm](i) f(x) = f(x_0) + a*(x-x_0) + \delta(x) * (x-x_0)[/mm]
[mm](ii) \limes_{x\rightarrow x_0} \delta(x) = 0[/mm]
Nur wie packe ich das an der Stelle an?
Gruß, Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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