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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 04.06.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine in $y$- und $z$−Richtung unendlich ausgedehnte Platte der Dicke $2a$, die symmetrisch zur $yz$-Ebene liegen mit der Mitte bei $x= 0$. Sie trage die
Ladungsdichte
[mm]
\varrho = \varrho_0 \frac{\left| x \right|}{a}
[/mm]
Berechnen Sie das elektrische Feld im Innen- und Außenraum dieser Platte! |
Da ich keinen Einblick in diese Art von "Funktion" hatte , hatte ich über WOLFRAM die Integration durchführen lassen.
Das Oberflächenintegral habe ich selbst versucht zu lösen und komme dabei auf:
[mm]
\iint\limits_F \vec E \vec n \mathrm{d}f = \left|x\right| \cdot E_x \, \int\limits_{-z'}^{z'} \int\limits_{-y'}^{y'} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = E_x\left(\left|x_H\right|\right) \cdot 2F \left|x_H\right|
[/mm]
[mm] $x_H$ [/mm] steht für den Abstand zur $x$-Achse in positiver bzw. negativer Richtung.
Ich muss ja hier über zwei Flächen integrieren, heißt das nun eigentlich "Integriere über zwei Hüllflächen!" oder reicht dies, wenn ich einfach von entsprechend $y [mm] \in[-y',y']$ [/mm] und $z [mm] \in [/mm] [-z',z']$ integriere?
Für die Ladungsverteilung erfolgte die Lösung über Wolfram,
das Ergebnis lautet mit $F = y [mm] \cdot [/mm] z$
[mm]
2F\frac{a\,\varrho_0}{\varepsilon_0}\int\limits \left| x \right| \, \mathrm{d}x = \frac{\varrho_0}{\varepsilon_0}\frac{a}{2}\,F\,x^2 \mathrm{sgn} \left(x\right)
[/mm]
Das $F$ (Flächen in unendlicher Ausdehnung in $yz$-Richtung) habe ich eingefügt, es sollte für die Betrachtung aber nicht weiter stören (hoffe ich).
Mit Integrationsgrenzen spuckt mir WOLFRAM das aus:
[mm]
2F\frac{a\,\varrho_0}{\varepsilon_0}\int\limits_{-a}^{a}\left| x \right| \, \mathrm{d}x = \frac{a\,\varrho_0}{\varepsilon_0}, \mbox{for} \,\, a > 0
[/mm]
Könnte mir bitte jemand erklären wie ich die Integration "per Hand" durchführe -also ohne Computer?
Genau das verstehe ich nicht, denn wenn ich "stur" die Rechenregeln für die Integration anwende, komme ich auf den Wert Null für das resultierende Feld!
Für schnelle Hilfe wäre ich euch dankbar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 04.06.2012 | | Autor: | murmel |
Korrektur: ich hatte in WOLFRAM nur das eingegeben:
Das $a$ muss ja im Nenner stehen!
[mm]
\frac{\varrho_0}{\varepsilon_0\,a}\int\limits_{-a}^{a}\left| x \right| \, \mathrm{d}x = \frac{a\,\varrho_0}{\varepsilon_0}, \mbox{for} \,\, a > 0
[/mm]
heißt dann wohl "Integriere zweimal die Funktion von $a$ bis $0$!"? Weil alle $a$ nur vom Betrag her zählen?
[mm]
\frac{\varrho_0}{\varepsilon_0\,a}\int\limits_{0}^{a}\left| x \right| \, \mathrm{d}x + \frac{\varrho_0}{\varepsilon_0\,a}\int\limits_{0}^{a}\left| x \right| \, \mathrm{d}x= \frac{a\,\varrho_0}{\varepsilon_0}, \mbox{for} \,\, a > 0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. solltest du sagen ueber welches volumen bzw Oberflaeche du integrierst.
2, mit F unendlich, wo du im ersten teil ueber konkrete Flaechen integrierst ist Unsinn.
3. a) kann man ja mal |x| aufzeichnen, danns ollte das integral = dreiecksflaechen leicht sein.
b)|x|=x fuer x>0 und |x|=-x fuer x<0 und das solltest du integrieren koennen.
4. versteh ich nicht was du da machst, wieso |x| vor dem Integral? wo bleiben die y' und z'
$ [mm] \iint\limits_F \vec [/mm] E [mm] \vec [/mm] n [mm] \mathrm{d}f [/mm] = [mm] \left|x\right| \cdot E_x \, \int\limits_{-z'}^{z'} \int\limits_{-y'}^{y'} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z [/mm] = [mm] E_x\left(\left|x_H\right|\right) \cdot [/mm] 2F [mm] \left|x_H\right| [/mm] $
5. wenn du F=yz eintraegst haengt deine Ladung von x,y,z ab?
Also sag ueber welchen Koerper du integrierst, begruende, dass da nur [mm] E_x [/mm] steht, und deine anderen dinge. wie ist denn nun E an einer beliebigen Stelle? innerhalb |x|<a , ausserhalb |x|>a der Platte?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 04.06.2012 | | Autor: | murmel |
> Hallo
> 1. solltest du sagen ueber welches volumen bzw Oberflaeche
> du integrierst.
Über eine unendlich ausgedehnten Quader mit endlicher Dicke $2a$
> 2, mit F unendlich, wo du im ersten teil ueber konkrete
> Flaechen integrierst ist Unsinn.
Ok, wie muss ich denn damit umgehen? Also wie muss ich dann integrieren, wenn die $yz$-Ebene unendlich groß ist? Das habe ich noch immer nicht verstanden!
> 3. a) kann man ja mal |x| aufzeichnen, danns ollte das
> integral = dreiecksflaechen leicht sein.
Ok, das kann ich nachvollziehen.
> b)|x|=x fuer x>0 und |x|=-x fuer x<0 und das solltest du
> integrieren koennen.
> 4. versteh ich nicht was du da machst, wieso |x| vor dem
> Integral? wo bleiben die y' und z'
> [mm]\iint\limits_F \vec E \vec n \mathrm{d}f = \left|x\right| \cdot E_x \, \int\limits_{-z'}^{z'} \int\limits_{-y'}^{y'} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = E_x\left(\left|x_H\right|\right) \cdot 2F \left|x_H\right|[/mm]
>
Ja, jetzt sehe ich zwar das meine Formel keinen Sinn ergibt, aber ich verstehe immer noch nicht wie das funktionieren soll. Bei Kugeln und Zylinder weiß ich wie ich arbeiten muss, jedoch sieht das Modell zum Berechenen
für die Fläche umständlicher und unanschaulicher aus!
Für $y$ und $z$ hätte ich dann entsprechend die Fläche integriert wo du jedoch sagst es sei unsinnig.
> 5. wenn du F=yz eintraegst haengt deine Ladung von x,y,z
> ab?
Nein, sie hängt nur von $x$ ab! Das Oberflächenintegral wird doch für die Feldkomponente [mm] $E_x \, \vec{e}_x$ [/mm] berechnet! Würde dort also nur [mm] $E_x$ [/mm] stehen?
> Also sag ueber welchen Koerper du integrierst,
Über einen Quader mit endlicher Dicke
> begruende,
> dass da nur [mm]E_x[/mm] steht, und deine anderen dinge.
[mm]\oint\limits_F E_x \, \begin{pmatrix} 1,0,0\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z[/mm]
Aus Symmetriegründen damit das Gaußsche Gesetz angewendet werden kann.
wie ist
> denn nun E an einer beliebigen Stelle? innerhalb |x|<a ,
> ausserhalb |x|>a der Platte?
> Gruss leduart
>
$x$ war doch mein Messpunkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Mo 04.06.2012 | | Autor: | murmel |
Wahrscheinlich weil $y$- bzw. $z$-Komponenten nicht in der Ladungsverteilung vorkommen, vereinfacht sich das Integral zu einem einfachen (Riemann-)Integral... das diese Komponenten keine Auswirkungen auf das Feld haben...(ich hoffe ich liege da richtig in meiner Annahme.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ueber einen eunendlichen Quader integrierst, ist die ladung innerhalb auch unendlich und du weisst nichts!
nimm einen endlichen Quader, symetrisch zu x=0 wie du es mit dem esten Integral angedeutet hast.
dann argumentiere, dass es durch die Flaechen senkrecht zur x-Richtung kein Feld ist. also warum nur [mm] E_x
[/mm]
dann mach witer, dein Quader sollte einmal innerhalb einmal ausserhalb der Platte liegen!
hatten wir nicht was ganz aehliches beim geladenen Zylinder? wenn das nicht du warst vergiss es.
Gruss leduart
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