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| Aufgabe | f(X)=|x-1 |
dann:
X-1=0 |+1
X=1
danach unterscheide ich in folgenden Fällen:
X [mm] \ge [/mm] 1 -->|X-1| = X-1
X < 1 -->|x-1| = - (X-1)
= - X+1 |
1.Was bedeuten diese Formeln genau?
2.Wie kann ich mir dies bildlich vorstellen um diese Aufgabe logisch ohne auswendig zu lernen am besten lösen?
3.Wie ordne ich dann X zu? z.B. $ [mm] \{x | x \mbox{ positiv}\}) [/mm] $
Vielen Dank, wenn ihr mir Lösungsansätze geben könntet, die mir in den einzelnen Rechenschritten helfen.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:51 Di 17.01.2006 | | Autor: | Ivana |
Wenn man eine Betragfunktion betrachtet, muss man dies für den positiven und den negativen Bereich tun.
Naja, wenn x [mm] \ge [/mm] 0 haben möchtest, dann muss die Funktion x-1 lauten.
Willst du aber in den negativen Bereich, musst du die Umkehrfunktion bilden, also für x [mm] \le [/mm] 0 : -x+1.
Die Ergebnisse werden nun immer negativ oder [mm] \le [/mm] 0.
> X [mm]\ge[/mm] 1 -->|X-1| = X-1
>
> X < 1 -->|x-1| = - (X-1)
> = - X+1
Ich verstehe nur nicht, warum bei dir x< 1 bzw. x>1 1 ist.
Ich hoffe, ich konnte dir wenigstens etwas weiter helfen.
Gruß. Iva
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1.Was bedeuten diese Formeln genau?
Die Betragsfunktion gibt immer ein f(x) >= 0 zurück. Dies passiert auch für negative Funktionswerte.
Diese werden dann positiv bei gleichem Wert, es ändert sich nur das Vorzeichen:
Beispiel:
$|3| = 3 $ weil 3 positiv ist, passiert gar nix
$|-3| = 3 $ weil -3 negativ ist wird das Vorzeichen geändert.
Daraus folgt, dass der Wertebereich von der Betragsfunktion maximal $ x>= 0 $ sein kann
2.Wie kann ich mir dies bildlich vorstellen um diese Aufgabe logisch ohne auswendig zu lernen am besten lösen?
Bildlich kannst du dir den negativen Teil des Graphen als an der x-Achse gespiegelt vorstellen.
Daraus folgt dann auch die Fallunterscheidung:
Beispiel
$ f(x) = x$ damit ist $ f(x)$ für alle $ x < 0 $negativ, eine ganz "normale" Gerade
$ g(x) = |x| $ hier wird jetzt bei allen x < 0 der Graph an der x-Achse gespiegelt.
Du kannst das ganze jetzt wieder als Funktion ohne Betrag angeben musst dann aber bisschen aufpassen:
$ f(x) = x [mm] \{x | x >= 0 \} [/mm] $ und $ f(x) = -x [mm] \{x | x < 0 \} [/mm] $
das ganze als Bild gibt dann zwei Geraden die, vom Ursprung ausgehen und beide einen Winkel von 45° haben.
Sonst gib das ganze mal in nen einfachen Funktionenplotter ein dann siehst du es.
3.Wie ordne ich dann X zu? z.B. $ [mm] \{x | x \mbox{ positiv}\}) [/mm] $
Hm du musst dir erst einmal überlegen, wann wird der Funktionswert negativ?
Das bekommst du in der Regel über die Nullstellen, da hier ein übergan von y >= 0 nach y < 0 stattfindet.
Jetzt musst du nur noch überlegen, oder rechnerisch überprüfen, ob die Funktion an der Stelle steigt oder fällt.
Ist die Funktion monoton wachsend, steigt also, dann gilt:
den Teil vor der Nullstelle mit (-1) multiplizieren, zumindest bis zur weiter "links" Nullstelle.
andersherum ist die Funktion monoton fallend, dann gilt:
den Teil nach der Nullstelle mit (-1) multiplizieren, zumindest bis zur nächsten Nullstelle.
Beispiel:
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 4$
Nullstellen: $ [mm] x_1 [/mm] = -2 , [mm] x_2 [/mm] = 2 $-
Funktion kommt von oben geht nach oben ->
$ f(x <= -2) >= 0$ also Streng monoton fallend: $ f(x) = [mm] x^2 \{x | x <= -2 \} [/mm] $
dann der nächste Teil von -2 < x < 2 :
Funktionswert ist negativ -> $ f(x) = [mm] -x^2 \{x | x > -2 \wedge x < 2 \} [/mm] $
der Rest ist wieder positiv und belibt unverändert: $ f(x) = [mm] x^2 \{x | x >= 2 \} [/mm] $'
Jetzt kannst du noch zusammenfassen:
$ f(x) = [mm] x^2 \{x \in \IR | \setminus [-2,2] \} [/mm] $
und
$ f(x) = [mm] x^2 \{x | (-2,2) \} [/mm] $
Vielen Dank, wenn ihr mir Lösungsansätze geben könntet, die mir in den einzelnen Rechenschritten helfen.
Hoffe ich hab die Intervalle alle richtig gekennzeichnet, aber ich denke das Prinzip is rübergekommen 
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