www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Betragsstriche
Betragsstriche < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Betragsstriche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Fr 22.06.2007
Autor: Martinius

Hallo,

ich habe eine Frage zur Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung:

[mm]y'*(1+x^{2})=x*y[/mm]

[mm]\integral \bruch{1}{y}dy=\integral \bruch{x}{1+x^{2}}dx[/mm]

[mm]ln|y| = \bruch{1}{2}*ln(1+x^{2})+ln|C|[/mm]   ;   C [mm] \in \IR [/mm]

[mm]\bruch{|y|}{|C|} = \wurzel{1+x^{2}}[/mm]

Jetzt steht in meinem Buch, die Lösung sei:

[mm]y = C* \wurzel{1+x^{2}}[/mm]

Die Betragsstriche werden einfach weggelassen; das ist ja eine andere Lösungsmenge als

[mm]|y| = |C|* \wurzel{1+x^{2}}[/mm]

Oder irre ich?

Vielen Dank für eine Antwort.


LG, Martinius


        
Bezug
Betragsstriche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Fr 22.06.2007
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das folgt aus der Eindeutigkeit der Lösung, d.h. wenn du eine Lösung gefunden hast, dann hat jede andere Lösung ebenfalls diese Form.

Und da [mm]y = C\sqrt{1+x^2}[/mm] die DGL erfüllt, ist dies somit die Lösung.

MfG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Betragsstriche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Fr 22.06.2007
Autor: Martinius

Vielen Dank für die Antwort.

LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Betragsstriche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Sa 23.06.2007
Autor: Martinius

Hallo,

'tschuldigung, wenn ich noch mal frage; ich bin mir nicht sicher, ob ich als Nichtmathematiker die vorherige Antwort ganz verstanden hande.

Bei der DGL  [mm]x*(x+1)*y'=y[/mm]

[mm]\integral\bruch{1}{y}\, dy = \integral\bruch{1}{x^{2}+x}\, dx [/mm]

[mm]ln|y| = ln\left|\bruch{x}{x+1}\right| + ln|C| [/mm]

erhält man ja zuerst das Ergebnis

[mm]|y| = |C|*\left|\bruch{x}{x+1}\right| [/mm]   ;   C [mm] \in \IR [/mm]

Durch Einsetzen in die DGL findet man, dass auch

[mm]y = C*\bruch{x}{x+1}[/mm]

eine Lösung ist.

Der Verlauf des Graphen der Betragsfunktion ist ja nun ein anderer, als derjenige der Funktion ohne Beträge; der Graph hat einen Knick bei x = 0. Die Betragsfunktion geht auch nicht durch Multiplikation mit einer Konstanten C aus der Lösung ohne Betragsstriche hervor.


Müsste man da nicht beide Funktionen als Lösung angeben?
Oder "umfasst" die Lösung ohne Betragsstriche die Betragsfunktion in irgendeinem Sinne?

In meinem Buch steht nur [mm]y = C*\bruch{x}{x+1}[/mm] als Lösung.

Vielen Dank im voraus.

LG, Martinius

Bezug
                                
Bezug
Betragsstriche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Sa 23.06.2007
Autor: leduart

Hallo
die Dgl. setzt ja vorraus, dass y differenzierbar ist.
der Weg, auf dem du die Lösg gefunden hast  gilt z.Teil nur für pos. Werte.
aber das ist ja eigentlich nur ne Zwischenrechnung.
du kannst ja auch schon vor dem Integrieren beide Seiten mit -1 multipl.
dann hast du uch die Lösg für neg. y.
Am Ende immer einfach nachprüfen ob die Lösung uneingeschränkt die Dgl erfüllt UND diffb. ist.
ausserdem hast du ja auch links bei y den Betrag stehn! wie sieht dann die fkt aus?
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Betragsstriche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 23.06.2007
Autor: Martinius

Hallo leduart,

D. h., wenn links und rechts Betragsstriche stehen, kann man sie einfach weglassen (?).

Nachprüfen der Lösung auf Differenzierbarkeit und nachschauen, ob sie die DGL erfüllt hab ich bisher immer gemacht.

LG, Martinius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]