Betragsungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien $K$ ein angeordneter Körper und [mm] $a,b\in [/mm] K$. Man zeige [mm] $\dfrac{|a+b|}{1+|a+b|}\le\dfrac{|a|}{1+|a|}+\dfrac{|b|}{1+|b|}$ [/mm] |
Leider machen mir die elementaren Ungleichungen der Analysis immer noch keinen Spaß. Außer jeder Menge nutzloser Äquivalenzumformungen bekomme ich nichts gebacken. Wahrscheinlich muss ich irgendwo die Dreiecksungleichung anwenden, aber ich sehe nicht, wie. Ich hoffe, ihr habt einen Tipp für mich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Do 01.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Es seien [mm]K[/mm] ein angeordneter Körper und [mm]a,b\in K[/mm]. Man zeige
> [mm]\dfrac{|a+b|}{1+|a+b|}\le\dfrac{|a|}{1+|a|}+\dfrac{|b|}{1+|b|}[/mm]
> Leider machen mir die elementaren Ungleichungen der
> Analysis immer noch keinen Spaß. Außer jeder Menge
> nutzloser Äquivalenzumformungen bekomme ich nichts
> gebacken. Wahrscheinlich muss ich irgendwo die
> Dreiecksungleichung anwenden, aber ich sehe nicht, wie. Ich
> hoffe, ihr habt einen Tipp für mich.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Hallo,
der erste Term ist [mm]1-\dfrac{1}{1+|a+b|}[/mm].
Die rechte Seite ist dann [mm]2-\dfrac{1}{1+|a|}-\dfrac{1}{1+|b|}[/mm].
Hilft das vielleicht?
Gruß Abakus
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Ich habe [mm] $1+|a+b|\le1+|a|+|b|\le1+|a|$, [/mm] also [mm] $-\dfrac{1}{1+|a+b|}\le-\dfrac{1}{1+|a|}$, [/mm] also [mm] $\dfrac{1}{1+|a|}+\dfrac{1}{1+|b|}-\dfrac{1}{1+|a+b|}\le\dfrac{1}{1+|b|}\le [/mm] 1$ und das ist mit deinem Tipp äquivalent zur Behauptung. Ich danke Dir! Ich hoffe, dass ich irgendwann auch solche Dinge sehe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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