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Betragsungleichung: Lösungsmenge Schnitt/Vereinig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Do 13.09.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Zu lösen ist folgende Aufgabe:

|-3x+2|<-5

Hallo,

Mein Lösungsweg:

|-3x+2|<-5   [mm] \gdw [/mm]   -3x+2<-5   [mm] \vee [/mm]   3x-2<-5

-3x+2<-5
[mm] \gdw [/mm] -3x<-7
[mm] \gdw x>\bruch{7}{3} [/mm]

[mm] \IL_1=(\bruch{7}{3}, \infty) [/mm]




3x-2<-5
[mm] \gdw [/mm] 3x<-3
[mm] \gdw [/mm] x<-1

[mm] \IL_2=(-\infty, [/mm] -1)



[mm] \IL=\IL_1\cup\IL_2=\IR [/mm] \ (-1, [mm] \bruch{7}{3}) [/mm]


Diese Lösung ist aber laut Buch falsch.
Richtige Lösung wäre [mm] \IL= [/mm] {}

Erklären kann ich mir die richtige Lösung nur dadurch, dass die Lösungsmengen nicht vereint werden, sondern die Schnittmenge daraus gebildet wird. Das würde aber doch bedeuten, dass zu Anfang nicht

|-3x+2|<-5   [mm] \gdw [/mm]   -3x+2<-5   [mm] \vee [/mm]   3x-2<-5

gilt, sondern

|-3x+2|<-5   [mm] \gdw [/mm]   -3x+2<-5   [mm] \wedge [/mm]   3x-2<-5   (Und, statt Oder)

gilt, was mir neu wäre?!

        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Do 13.09.2012
Autor: Richie1401

Hallo Jack,

> Zu lösen ist folgende Aufgabe:
>  
> |-3x+2|<-5

Der Absolutbetrag ist stets größer gleich null. Damit kann hier nur die leere Menge als Lösung richtig sein.


Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Do 13.09.2012
Autor: Jack159

Achja stimmt....Danke schonmal für deine Antwort ;)

Aber Betragsgleichungen werden trozdem verordert oder?
Also Beispiel:

|x+3|<5  [mm] \gdw [/mm]  x+3<5   [mm] \vee [/mm]  -x-3<5

Und die Lösungsmengen dann auch verodert?!

Bezug
                        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Do 13.09.2012
Autor: Richie1401


> Achja stimmt....Danke schonmal für deine Antwort ;)
>  
> Aber Betragsgleichungen werden trozdem verordert oder?
>  Also Beispiel:
>  
> |x+3|<5  [mm]\gdw[/mm]  x+3<5   [mm]\vee[/mm]  -x-3<5
>  
> Und die Lösungsmengen dann auch verodert?!

Verordert/verodert? Hehe, witzig ;)

Unten stehen ja schon einige Sachen zu der Frage.

Bezug
                        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Fr 14.09.2012
Autor: fred97


> Achja stimmt....Danke schonmal für deine Antwort ;)
>  
> Aber Betragsgleichungen werden trozdem verordert oder?
>  Also Beispiel:
>  
> |x+3|<5  [mm]\gdw[/mm]  x+3<5   [mm]\vee[/mm]  -x-3<5

Gen

>  
> Und die Lösungsmengen dann auch verodert?!



Vielleicht wird auch verödet .....



Ist a>0 und b [mm] \in \IR, [/mm] so hat man:

       $|b|<a$  [mm] \gdw [/mm]  -a<b<a  [mm] \gdw [/mm] b<a   und  b>-a.

Wir verunden also

FRED


Bezug
        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Do 13.09.2012
Autor: Stoecki

Richie hat ja bereits eine einfache lösung genannt. dennoch bleibt deine frage zum thema warum das und gelten soll.


> Zu lösen ist folgende Aufgabe:
>  
> |-3x+2|<-5
>  Hallo,
>  
> Mein Lösungsweg:
>  
> |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\vee[/mm]   3x-2<-5
>  
> -3x+2<-5
> [mm]\gdw[/mm] -3x<-7
>  [mm]\gdw x>\bruch{7}{3}[/mm]
>  
> [mm]\IL_1=(\bruch{7}{3}, \infty)[/mm]
>  
>
>
>
> 3x-2<-5
>  [mm]\gdw[/mm] 3x<-3
>  [mm]\gdw[/mm] x<-1
>  
> [mm]\IL_2=(-\infty,[/mm] -1)
>  
>
>
> [mm]\IL=\IL_1\cup\IL_2=\IR[/mm] \ (-1, [mm]\bruch{7}{3})[/mm]
>  
>
> Diese Lösung ist aber laut Buch falsch.
> Richtige Lösung wäre [mm]\IL=[/mm] {}
>  
> Erklären kann ich mir die richtige Lösung nur dadurch,
> dass die Lösungsmengen nicht vereint werden, sondern die
> Schnittmenge daraus gebildet wird. Das würde aber doch
> bedeuten, dass zu Anfang nicht
>
> |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\vee[/mm]   3x-2<-5
>  
> gilt, sondern
>
> |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\wedge[/mm]   3x-2<-5   (Und,
> statt Oder)
>  
> gilt, was mir neu wäre?!

es ist allerdings logisch. überlege es dir mal an einem logischeren beispiel. sagen wir die bedingung wäre < +5 statt < -5

dann gilt  |-3x+2|<5  [mm] \gdw [/mm]   -5 < -3x+2<5    
[mm] \gdw [/mm]   -3x+2<-5   [mm] \wedge [/mm]  3x-2<-5

würde eines dieser beiden bedingungen nun nicht mehr erfüllt sein, dann wäre damit automatisch der betrag größer als 5

gruß bernhard

Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Do 13.09.2012
Autor: fred97


> statt < -5
>  
> dann gilt  |-3x+2|<5  [mm]\gdw[/mm]   -5 < -3x+2<5    
> [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\wedge[/mm]  3x-2<-5

Das letzte [mm] \gdw [/mm] ist Unsinn

FRED

>  
> würde eines dieser beiden bedingungen nun nicht mehr
> erfüllt sein, dann wäre damit automatisch der betrag
> größer als 5
>  
> gruß bernhard


Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Do 13.09.2012
Autor: Jack159


> Richie hat ja bereits eine einfache lösung genannt.
> dennoch bleibt deine frage zum thema warum das und gelten
> soll.
>  
>
> > Zu lösen ist folgende Aufgabe:
>  >  
> > |-3x+2|<-5
>  >  Hallo,
>  >  
> > Mein Lösungsweg:
>  >  
> > |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\vee[/mm]   3x-2<-5
>  >  
> > -3x+2<-5
> > [mm]\gdw[/mm] -3x<-7
>  >  [mm]\gdw x>\bruch{7}{3}[/mm]
>  >  
> > [mm]\IL_1=(\bruch{7}{3}, \infty)[/mm]
>  >  
> >
> >
> >
> > 3x-2<-5
>  >  [mm]\gdw[/mm] 3x<-3
>  >  [mm]\gdw[/mm] x<-1
>  >  
> > [mm]\IL_2=(-\infty,[/mm] -1)
>  >  
> >
> >
> > [mm]\IL=\IL_1\cup\IL_2=\IR[/mm] \ (-1, [mm]\bruch{7}{3})[/mm]
>  >  
> >
> > Diese Lösung ist aber laut Buch falsch.
> > Richtige Lösung wäre [mm]\IL=[/mm] {}
>  >  
> > Erklären kann ich mir die richtige Lösung nur dadurch,
> > dass die Lösungsmengen nicht vereint werden, sondern die
> > Schnittmenge daraus gebildet wird. Das würde aber doch
> > bedeuten, dass zu Anfang nicht
> >
> > |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\vee[/mm]   3x-2<-5
>  >  
> > gilt, sondern
> >
> > |-3x+2|<-5   [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\wedge[/mm]   3x-2<-5   (Und,
> > statt Oder)
>  >  
> > gilt, was mir neu wäre?!
>
> es ist allerdings logisch. überlege es dir mal an einem
> logischeren beispiel. sagen wir die bedingung wäre < +5
> statt < -5
>  
> dann gilt  |-3x+2|<5  [mm]\gdw[/mm]   -5 < -3x+2<5    
> [mm]\gdw[/mm]   -3x+2<-5   [mm]\wedge[/mm]  3x-2<-5
>  
> würde eines dieser beiden bedingungen nun nicht mehr
> erfüllt sein, dann wäre damit automatisch der betrag
> größer als 5
>  
> gruß bernhard


Jetzt bin ich wieder komplett verwirrt O.o

Also folgendes wäre also falsch?


|x+3|<5  $ [mm] \gdw [/mm] $  x+3<5   $ [mm] \vee [/mm] $  -x-3<5

Bezug
                        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 13.09.2012
Autor: Richie1401

Hey Jack

> Jetzt bin ich wieder komplett verwirrt O.o
>  
> Also folgendes wäre also falsch?
>  
>
> |x+3|<5  [mm]\gdw[/mm]  x+3<5   [mm]\vee[/mm]  -x-3<5  

Angenommen das gilt, dann erfüllt x=12 die Ungleichung -x-3<5
Damit ist die rechte Seite von [mm] \gdw [/mm] also korrekt. Aber die linke Seite stimmt offensichtlich nicht.
Also kann diese oder-Beziehung bei |x+3|<5  [mm]\gdw[/mm]  x+3<5   [mm]\vee[/mm]  -x-3<5  keinesfalls gelten.

Bezug
        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Do 13.09.2012
Autor: Steffi21

Hallo

|-3x+2|<5

mache sauber deine Fallunterscheidungen

Fall (1):

[mm] -3x+2\ge0 [/mm] daraus folgt [mm] x\le\bruch{2}{3} [/mm]

-3x+2<5 daraus folgt x>-1

aus [mm] x\le\bruch{2}{3} [/mm] und x>-1 bekommst du für die Lösungsmenge [mm] -1
Fall (2):

-3x+2<0 daraus folgt [mm] x>\bruch{2}{3} [/mm]

-(-3x+2)<5 daraus folgt [mm] x<\bruch{7}{3} [/mm]

aus [mm] x>\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] x<\bruch{7}{3} [/mm] bekommst du für die Lösungsmenge [mm] \bruch{2}{3}

aus der Vereinigung [mm] -1
Steffi


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