Betriebsoptimum < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Di 26.05.2009 | | Autor: | alex66 |
Hallo, ich habe eine Frage. Und zwar wie bilde ich mein Betriebsoptimum wenn ich folgende Kostenfunktion gegeben haben: [mm] K(x)=0,5x^3-6x^2+25x+4,5
[/mm]
Ich habe nun zuerst durch x geteilt um auf die Stückkosten zu kommen.
[mm] k(x)=0,5x^2-6x+25+4,5x^{-1}
[/mm]
Nun bilde ich davon die 1. Ableitung:
[mm] k'(x)=x-6+4,5x^{-2}
[/mm]
Um meine [mm] x^{-2} [/mm] weg zu bekommen, multiplizier ich mit [mm] *x^2
[/mm]
dann hab ich folgendes:
[mm] k'(x)=x^3-6x^2-4,5
[/mm]
und nun weiß ich nicht weiter. eigentlich würde ich jetzt mit dem horner schema meine 1.Nullstelle berechnen und die anderen beiden mit der pq-Formel. Ich weiß nicht ob ihr das kennt, aber so hab ich immer in der schule gerechnet´.
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Hallo alex66,
ich hab mal drüber nachgedacht:
Kannst du nicht einfach deine Kostenfunktion K(x) optimieren? Dann ginge das so:
1. Ableiten von K(x) (erste und zweite Ableitung)
2. Erste Ableitung = 0 setzen, lösen (das ist ja dann eine quadratische Gleichung)
3. Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen zum Testen, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
4. Den ermittelten x-Wert noch in K(x) einsetzen - das wären dann die optimalen Kosten und wenn du den Wert dann noch durch den ermittelten x-Wert dividierst, müsstest du doch auch die Kosten pro Stück bekommen.
Das passt nur leider nicht so ganz, denn dein K(x) hat keine Extremstellen.
Wenn du jetzt also deinen Weg gehst und analysierst [mm]k(x)=\bruch{K(x)}{x}=0,5x^{2}-6x+25+\bruch{4,5}{x}[/mm], dann ist der Weg zwar der gleiche, aber du brauchst mehr Handwerkszeug:
1. Schritt: [mm]k'(x)=x-6-\bruch{4,5}{x^{2}}[/mm]
2. Schritt: [mm]k'(x) = 0[/mm] setzen.
[mm]\Rightarrow x-6-\bruch{4,5}{x^{2}}=0[/mm] | [mm]*x^{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow x^{3}-6x^{2}-4,5=0[/mm]
Jetzt habe ich großes Verständnis, dass du nicht mehr weiter weißt, denn für das Horner-Schema musst du ja erstmal eine Lösung raten. Und das halte ich für nicht möglich. Es gibt nur eine Lösung, und die kann man nicht erraten.
Wenn du es also ohne elektronische Hilfsmittel machen musst, dann kannst du jetzt nur mit einem Näherungsverfahren (z.B.  Newton-Verfahren) an die Lösung herankommen.
Wenn du elektronische Hilfsmittel verwenden darfst (also ein CAS, das Gleichungen lösen kann), dann würde ich es damit machen.
Als Tipp für einen guten Startwert für ein Näherungsverfahren schlage ich mal 6 vor. Das liegt schon ziemlich in der Nähe.
Vielleicht ist aber auch vorgegeben, dass es eine ganzzahlige Stückzahl sein soll. Dann kannst du es durch ausprobieren rausfinden, weil die Funktion ja bei ca. 6 ein Minimum hat, und ab da wächst sie kontinuierlich an. Vor diesem Minimum fällt sie die ganze Zeit, d.h. dann wäre der kleinste mögliche Wert entweder bei x=6 oder bei x=7. Wohl gemerkt: das ist nicht die Stelle, an der das Minimum der Funktion liegt (also nicht "rein mathematisch" berechnet), sondern die ganzzahlige Stelle, an der der kleinste Wert für ein ganzzahliges x liegt.
Vielleicht hast du so zumindest noch ein paar Ideen bekommen...
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Di 26.05.2009 | | Autor: | alex66 |
Erst einmal vielen Dank für deine Bemühungen.
Wenn ich es so weit richtig gemacht habe dann denke ich, dass mein Lehrer uns eine falsche Kostenfunktion gegeben hat. Das ist natürlich ärgerlich wenn man die Aufgabe dann zehn mal neu rechnet und seinen Fehler sucht. Wir rechnen ohne technische Hilfsmittel, von daher müsste es eine gerade Zahl sein.
Und insofern bin ich berühigt, dass der Fehler nicht bei mir lag.
Nochmals vielen Dank.
Alex
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