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| Aufgabe | Das explosive Bevölkerungswachstum in Entwicklungsländern werde durch die Differentialgleichung
[mm]\frac{dP}{dt} = \alpha \cdot P^{\beta}[/mm]
beschrieben, wobei [mm]\alpha > 0, \beta > 1[/mm] fest.
Lösen Sie diese DGL unter der Anfangsbedingung [mm]P(0) = P_0[/mm] und zeigen Sie, dass [mm]P(t)[/mm] im Unterschied zur exponentiellen Bevölkerungsentwicklung nicht erst für [mm]t \to \infty[/mm], sondern bereits für [mm]t \to T < \infty[/mm] über alle Schranken wächst. Wie groß ist [mm]T[/mm]? |
Hallo zusammen,
den ersten Teil der Aufgabe konnte ich ganz gut lösen.
Dazu habe ich zunächst die allgemeine Lösung der DGL bestimmt und erhalten:
[mm]P = ((\alpha \cdot t + c) \cdot (\beta + 1))^{1 / (-\beta+1)}[/mm]
wobei [mm]c[/mm] eine Integrationskonstante ist
Aus [mm]P(0) = P_0[/mm] folgt dann für die Konstante [mm]c[/mm]:
[mm]P_0 = (c \cdot (\beta + 1))^{1 / (-\beta+1)} \iff c = \frac{P_0^{(-\beta+1)}}{\beta+1}[/mm]
Damit lautet die Lösung des AWPs:
[mm]P(t) = \left( \left( \alpha \cdot t + \frac{P_0^{(-\beta+1)}}{\beta+1} \right) \cdot \left( \beta + 1 \right) \right)^{1 / (-\beta+1)}[/mm]
Aber wie finde ich jetzt das [mm]T[/mm] für das [mm]P(t)[/mm] "über alle Schranken wächst"?
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir da Tipps bzw. einen Ansatz geben würdet.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo,
> Das explosive Bevölkerungswachstum in Entwicklungsländern
> werde durch die Differentialgleichung
>
> [mm]\frac{dP}{dt} = \alpha \cdot P^{\beta}[/mm]
>
> beschrieben, wobei [mm]\alpha > 0, \beta > 1[/mm] fest.
>
> Lösen Sie diese DGL unter der Anfangsbedingung [mm]P(0) = P_0[/mm]
> und zeigen Sie, dass [mm]P(t)[/mm] im Unterschied zur exponentiellen
> Bevölkerungsentwicklung nicht erst für [mm]t \to \infty[/mm],
> sondern bereits für [mm]t \to T < \infty[/mm] über alle Schranken
> wächst. Wie groß ist [mm]T[/mm]?
> Hallo zusammen,
>
> den ersten Teil der Aufgabe konnte ich ganz gut lösen.
>
> Dazu habe ich zunächst die allgemeine Lösung der DGL
> bestimmt und erhalten:
> [mm]P = ((\alpha \cdot t + c) \cdot (\beta + 1))^{1 / (-\beta+1)}[/mm]
Der Inhalt der zweiten Klammer ist IMO falsch. Das müssten doch auch [mm] 1-\beta [/mm] sein. Außerdem erhalte ich einen Bruch:
[mm] P=\left(\bruch{1-\beta}{\alpha*t+c}\right)^{\bruch{1}{1-\beta}}
[/mm]
>
> wobei [mm]c[/mm] eine Integrationskonstante ist
>
> Aus [mm]P(0) = P_0[/mm] folgt dann für die Konstante [mm]c[/mm]:
>
> [mm]P_0 = (c \cdot (\beta + 1))^{1 / (-\beta+1)} \iff c = \frac{P_0^{(-\beta+1)}}{\beta+1}[/mm]
>
> Damit lautet die Lösung des AWPs:
>
> [mm]P(t) = \left( \left( \alpha \cdot t + \frac{P_0^{(-\beta+1)}}{\beta+1} \right) \cdot \left( \beta + 1 \right) \right)^{1 / (-\beta+1)}[/mm]
>
> Aber wie finde ich jetzt das [mm]T[/mm] für das [mm]P(t)[/mm] "über alle
> Schranken wächst"?
Rechne nochmal alles richtig durch und mache dir klar, dass die Lösungsfunktion eine Polstelle besitzt.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> > Dazu habe ich zunächst die allgemeine Lösung der DGL
> > bestimmt und erhalten:
> > [mm]P = ((\alpha \cdot t + c) \cdot (\beta + 1))^{1 / (-\beta+1)}[/mm]
>
> Der Inhalt der zweiten Klammer ist IMO falsch. Das müssten
> doch auch [mm]1-\beta[/mm] sein. Außerdem erhalte ich einen Bruch:
>
> [mm]P=\left(\bruch{1-\beta}{\alpha*t+c}\right)^{\bruch{1}{1-\beta}}[/mm]
stimmt, die zweite Klammer ist falsch. Allerdings erhalte ich noch immer keinen Bruch:
[mm]\frac{dP}{dt} = \alpha \cdot P^{\beta}[/mm]
[mm]\iff \frac{1}{P^{\beta}} \cdot \frac{dP}{dt} = \alpha[/mm]
[mm]\iff \frac{1}{P^{\beta}} \cdot dP = \alpha dt[/mm]
[mm]\iff \integral_{}^{}{\frac{1}{P^{\beta}} dP = \integral_{}^{}{\alpha dt}[/mm]
[mm]\iff \integral_{}^{}{P^{-\beta}} dP = \integral_{}^{}{\alpha dt}[/mm]
[mm]\iff \frac{P^{-\beta+1}}{-\beta+1} = \alpha \cdot t + C[/mm]
[mm]\iff P^{-\beta+1} = (\alpha \cdot t + C) \cdot (-\beta + 1)[/mm]
[mm]\iff P = (\alpha \cdot t + C) \cdot (-\beta+1)^{\frac{1}{-\beta+1}}[/mm]
> > Aber wie finde ich jetzt das [mm]T[/mm] für das [mm]P(t)[/mm] "über
> alle
> > Schranken wächst"?
>
> Rechne nochmal alles richtig durch und mache dir klar, dass
> die Lösungsfunktion eine Polstelle besitzt.
Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Es gilt ja [mm]\alpha > 0, \beta > 1[/mm]. Wie kann die Lösungsfunktion dann eine Polstelle besitzen?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo,
> Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Es gilt ja [mm]\alpha > 0, \beta > 1[/mm].
> Wie kann die Lösungsfunktion dann eine Polstelle
> besitzen?
Betrachte mal, gerade vor dem Hintergund [mm] \beta>1 [/mm] deinen Exponenten genauer.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmals,
> Betrachte mal, gerade vor dem Hintergund [mm]\beta>1[/mm] deinen
> Exponenten genauer.
In der Funktion
$ P(t) = [mm] \left( \left( \alpha \cdot t + \frac{P_0^{(1 - \beta)}}{1 - \beta} \right) \cdot \left(1 - \beta \right) \right)^{\frac{1}{1 - \beta}} [/mm] $
ist [mm] $\frac{1}{1-\beta}$ [/mm] immer negativ, da [mm] $\beta [/mm] > 1$.
Allerdings sehe ich leider noch nicht, was das mit einer Polstelle zu tun hat. Eine Polstelle ist ja eine Definitionslücke, aber diese Funktion hat keine Definitionslücken.
Spielt das für die Grenzwertbetrachtung $t [mm] \to \infty$ [/mm] bzw. $t [mm] \to [/mm] T < [mm] \infty$ [/mm] überhaupt eine Rolle? Immerhin wird dort $t$ und nicht [mm] $\beta$ [/mm] betrachtet.
Viele Grüße
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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