Bew. Ordnung endlicher Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 09.04.2006 | | Autor: | yalu |
| Aufgabe | | Es sei G eine endliche Gruppe (nicht notwendig kommutativ, multiplikativ geschrieben) und H [mm] \le [/mm] G eine Untergruppe. Zeigen Sie, dass die Ordnung von H die Ordnung von G teilt. |
Nunja - trivial sind natürlich die Fälle G = H und H = [mm] \{ 1 \}.
[/mm]
Für alle anderen Fälle fehlt mir die Idee - ich bin aber zu dem Schluss gekommen, dass man da etwas mit Restklassen basteln muss - vllt. so ne Art Gegenbeweis:
Vor.: |G| = q und H Untergruppe von G
Beh.: |H| teilt nicht |G|
(Was man glaube ich nicht verwenden darf ist:
es gilt aber |G/H| = |G| / |H| das wäre ja zu trivial - hieraus folgt das ja direkt)
Was man auch noch weiss..
Naja G/H ist ne Partition von G und demnach disjunkt; |G/H| [mm] \le [/mm] q
Man muss nun irgendwie die Elemente von G zählen die in der selben Äquivalenz/Restklasse liegen, weil von denen braucht man ja dann in der Untergruppe jeweils nur eins mindestens? - Die Anzahl der Partitionen ist auf jeden Fall ein Teiler von |G| - damit wäre man ja fertig - kommt man da irgendwie dran?
Naja das waren so meine Grundideen - komme da aber nicht weiter 
Danke im Voraus!
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei G eine endliche Gruppe (nicht notwendig kommutativ,
> multiplikativ geschrieben) und H [mm]\le[/mm] G eine Untergruppe.
> Zeigen Sie, dass die Ordnung von H die Ordnung von G
> teilt.
> Nunja - trivial sind natürlich die Fälle G = H und H =
> [mm]\{ 1 \}.[/mm]
>
> Für alle anderen Fälle fehlt mir die Idee - ich bin aber zu
> dem Schluss gekommen, dass man da etwas mit Restklassen
> basteln muss
Genau!
> - vllt. so ne Art Gegenbeweis:
Du kannst es auch konstruktiv machen.
> Vor.: |G| = q und H Untergruppe von G
> Beh.: |H| teilt nicht |G|
>
> (Was man glaube ich nicht verwenden darf ist:
> es gilt aber |G/H| = |G| / |H| das wäre ja zu trivial -
> hieraus folgt das ja direkt)
Das $|G/H| = |G| / |H|$ ist folgt gerade aus dem, was du beweisen willst/sollst.
> Was man auch noch weiss..
> Naja G/H ist ne Partition von G und demnach disjunkt;
Genau.
> |G/H| [mm]\le[/mm] q
Was auch immer $q$ ist...
> Man muss nun irgendwie die Elemente von G zählen die in
> der selben Äquivalenz/Restklasse liegen, weil von denen
> braucht man ja dann in der Untergruppe jeweils nur eins
> mindestens? - Die Anzahl der Partitionen ist auf jeden Fall
> ein Teiler von |G| - damit wäre man ja fertig - kommt man
> da irgendwie dran?
Ja. Zeige mal die folgenden Aussagen:
- Sind [mm] $g_1, g_2 \in [/mm] G$, so sind [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] genau dann aequivalent, wenn [mm] $g_1 [/mm] H = [mm] g_2 [/mm] H$ ist.
- Daraus folgerst du, dass $g H$ die Aequivalenzklasse von $g$ ist.
- Die Menge $H$ kann bijektiv auf $g H$ abgebildet werden. (Also ist $|H| = |h G|$.)
Damit bist du dann fertig.
LG Felix
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