Bew. einer Funkion Funktheo < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 12.05.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe 1 | | Sei f ganz. Es gebe eine Folge [mm] z_{n}\subset\IC [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|z_{n}|= \infty [/mm] und [mm] f(z_{n}) [/mm] = 1 für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie, dass f entweder konstant gleich 1 oder transzendent ist. |
| Aufgabe 2 | | Sei f ganz mit Re(f(z)) + Im(f(z)) [mm] \ge [/mm] für alle [mm] z\in\IC. [/mm] Zeigen Sie, dass f konstant ist. Hinweis: Zeigen Sie, dass f ein Polynom ist und dass p(z):=f(z)+i keine Nullstellen hat. |
Zu Aufgabe 1 habe ich mir Folgendes überlegt: f ist entweder gleich 1 oder transzendent und da f nicht beides gleichzeitig sein kann, unterscheide ich zwei Fälle. 1.Fall: f ist nicht transzendent => f gleich 1. 2.Fall: f nicht gleich 1 => f transzendent.
Beim 1. Fall folgere ich daraus dass f nicht transzendent ist, dass f ein Polynom ist (da f ganz ist). Dann dachte ich mir, dass man vielleicht mit dem Identitätssatz folgern kann, dass f gleich 1 ist. Ich definiere dann eine neue Funktion g(z)=1 [mm] \forallz\in\IC [/mm] und dann gilt nach dem Identitätssatz: f=g [mm] \gdw [/mm] es ein [mm] z'\in\IC [/mm] sodass für alle n aus den natürlichen Zahlen die n-te Ableitung beider Funktionen gleich ist. Die Ableitung von g ist 0, jedoch weiß ich nicht wie ich etwas über die Ableitung von f folgern könnte und da komm ich nicht mehr weiter...
Bei Aufgabe 2 denke ich mir, dass wenn man den Hinweis gezeigt hat, man mit dem Hauptsatz der Algebra die Behauptung folgern kann. Jedoch kann ich mit dem Hinweis nicht viel anfangen. Als ich mir die Aufgabe angesehen habe, dachte ich man könnte mit den CR-Differentialgleichungen etwas folgern, wegen Re(f(z)) + Im(f(z)) [mm] \ge [/mm] für alle [mm] z\in\IC, [/mm] aber da komme ich auch nicht weiter. Wenn ich den Hinweis richtig interpretiert habe, soll man zeigen p(z) keine Nullstellen hat, also dass [mm] f(z)\not=-i [/mm] gilt, aber ich habe leider auch keinen Ansatz wie ich das zeigen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zu a)
Die Funktion ist ganz, lässt sich also auf ganz [mm] \IC [/mm] in eine Reihe entwickeln. Sie ist transzendent, wenn sie kein Polynom ist.
Wäre f ein Polynom, so wäre g(x) = f(x)-1 ebenfalls ein Polynom gleichen Grades. Dann gäbe es eine Folge [mm] x_n [/mm] mit unendlich vielen verschiedenen Gliedern (da [mm] x_n [/mm] nach unendlich gehen soll), für die [mm] f(x_n)=1 [/mm] und damit [mm] g(x_n)=0 [/mm] wäre. Ein Polynom k-ten Grades hat aber maximal k verschiedene Nullstellen.Also kann g und damit auch f kein Polynom sein, sie sind demnach transzendent, oder g ist das Nullpolynom und damit f(x)=1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Di 12.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Vielen Dank für die schnelle, klare Antwort. Ich hatte mich wohl zu sehr auf meinen falschen Ansatz konzentriert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mi 13.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f ganz. Es gebe eine Folge [mm]z_{n}\subset\IC[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|z_{n}|= \infty[/mm] und [mm]f(z_{n})[/mm] = 1
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Zeigen Sie, dass f entweder konstant
> gleich 1 oder transzendent ist.
> Sei f ganz mit Re(f(z)) + Im(f(z)) [mm]\ge[/mm] ????
Ist auch egal. Wir können von Re(f(z)) + Im(f(z)) [mm]\ge[/mm] 0 ausgehen (warum ?)
> für alle [mm]z\in\IC.[/mm]
> Zeigen Sie, dass f konstant ist. Hinweis: Zeigen Sie, dass
> f ein Polynom ist und dass p(z):=f(z)+i keine Nullstellen
> hat.
> Zu Aufgabe 1 habe ich mir Folgendes überlegt: f ist
> entweder gleich 1 oder transzendent und da f nicht beides
> gleichzeitig sein kann, unterscheide ich zwei Fälle.
> 1.Fall: f ist nicht transzendent => f gleich 1. 2.Fall: f
> nicht gleich 1 => f transzendent.
> Beim 1. Fall folgere ich daraus dass f nicht transzendent
> ist, dass f ein Polynom ist (da f ganz ist). Dann dachte
> ich mir, dass man vielleicht mit dem Identitätssatz
> folgern kann, dass f gleich 1 ist. Ich definiere dann eine
> neue Funktion g(z)=1 [mm]\forallz\in\IC[/mm] und dann gilt nach dem
> Identitätssatz: f=g [mm]\gdw[/mm] es ein [mm]z'\in\IC[/mm] sodass für alle
> n aus den natürlichen Zahlen die n-te Ableitung beider
> Funktionen gleich ist. Die Ableitung von g ist 0, jedoch
> weiß ich nicht wie ich etwas über die Ableitung von f
> folgern könnte und da komm ich nicht mehr weiter...
>
> Bei Aufgabe 2 denke ich mir, dass wenn man den Hinweis
> gezeigt hat, man mit dem Hauptsatz der Algebra die
> Behauptung folgern kann. Jedoch kann ich mit dem Hinweis
> nicht viel anfangen. Als ich mir die Aufgabe angesehen
> habe, dachte ich man könnte mit den
> CR-Differentialgleichungen etwas folgern, wegen Re(f(z)) +
> Im(f(z)) [mm]\ge[/mm] für alle [mm]z\in\IC,[/mm] aber da komme ich auch
> nicht weiter. Wenn ich den Hinweis richtig interpretiert
> habe, soll man zeigen p(z) keine Nullstellen hat, also dass
> [mm]f(z)\not=-i[/mm] gilt, aber ich habe leider auch keinen Ansatz
> wie ich das zeigen kann.
Zu 2)
Darfst Du benutzen, dass für eine nichtkonstante ganze Funktion f gilt
[mm] f(\IC) [/mm] liegt dicht in [mm] \IC [/mm] ?
Wenn ja, so nimm an, f wäre nicht konstant. Dann gibt es eine Folge [mm] (z_n) \in \IC [/mm] mit $ [mm] f(z_n) \to [/mm] -i$. Dan haben wir
[mm] Re(f(z_n)) [/mm] + [mm] Im(f(z_n)) \to [/mm] -1.
Dann ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] Re(f(z_n)) [/mm] + [mm] Im(f(z_n)) [/mm] <0 für alle n>m.
Das ist aber ein Widerspruch zu [mm] Re(f(z_n)) [/mm] + [mm] Im(f(z_n)) \ge [/mm] 0 für alle n.
Den Hinweis haben wir nicht benötigt.
Mit dem Satz von Casorati- Weierstrass kann man die Aufgabe auch erledigen:
Sei [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] die Potenzreihenentwicklung von f um 0.
Sei g(z):=f(1/z) für z [mm] \ne [/mm] 0.
g hat in 0 eine isolierte Singularität. Nimm an, diese wäre wesentlich. Setze [mm] U:=\{z \in \IC: 0<|z|<1\}.
[/mm]
Nach Casorati-Weierstrass ist [mm] \overline{g(U)}=\IC. [/mm] Somit gibt es eine Folge [mm] (z_n) [/mm] in U mit
[mm] g(z_n) \to [/mm] -i.
Also: [mm] f(1/z_n) \to [/mm] -i.
Wie in meinem ersten Beweis bekommen wir einen Widerspruch. 0 ist also keine wesentliche Singularität von g.
Nun besorge Dir die Laurententwicklung von g um 0 und zeige:
es ex. m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n=0 [/mm] für m>n.
Damit ist f ein Polynom. Jetzt mach Du weiter.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:13 Mi 13.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Singularitäten und Laurententwicklung haben wir in der Vorlesung noch nicht behandelt. Das mit der Dichtheit haben wir so in der Vorlesung nicht gehabt, aber wir haben den Satz von Gebietstreue gemacht. Der besagt, dass wenn [mm] G\subset\IC, [/mm] f holomorph auf G und f nicht konstant ist, dann ist f(G) ein Gebiet.
Was genau ist der Unterschied zwischen einer dichten Menge und einem Gebiet? Ein Gebiet ist ja eine Menge die offen und zusammenhängend ist, und eine dichte Menge? Mit den Definitionen im Internet kann ich mir nicht viel darunter vorstellen.
Kann ich in diesem Fall den Satz der Gebietstreue benutzen? Weil f ist nach Voraussetzung ganz und [mm] \IC [/mm] ist ein Gebiet. Dann könnte ich ja hier annehmen dass f nicht konstant ist und das dann zum Widerspruch führen.
Ich habe noch eine Frage zu deinem Beweis: In welchem Teil braucht man die Dichtheit?
MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 15.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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