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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)}{4} [/mm] |
Hallo,
ist es korrekt zu sagen, dass diese Gleichung falsch ist?
Denn, ich bekomme für den IA eine Falschaussage herraus:
IA: n = 1:
[mm] \bruch{1}{2} \not= \bruch{1(1+2)}{4} [/mm]
Viele Grüße macio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 09.04.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also für das Diskussionsthema "Beweis" hätte es doch sicher noch gereicht. ;)
Oh, ja, sieht falsch aus. Wäre das (n+2) ein (n+1) wäre die Formel allerdings richtig.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
Vielen Dank für deine Antwort! Ja das stimmt! Wie ist denn dann die Korrekte Aussage, dass die Gleichung Falsch ist?
Viele Grüße macio
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> Wie ist denn
> dann die Korrekte Aussage, dass die Gleichung Falsch ist?
Hallo,
???
So richtig klar ist mir nicht, was Du wissen willst.
Die Antwort würde lauten: "da die Behauptung für n=1 nicht stimmt, ist die Behauptung nicht wahr."
Du kannst aber stattdessen versuchen zu zeigen, daß $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{4} [/mm] $ für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Fr 10.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort! Ja das stimmt! Wie ist denn
> dann die Korrekte Aussage, dass die Gleichung Falsch ist?
"Die Gleichung ist falsch"
FRED
>
> Viele Grüße macio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Fr 10.04.2009 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] | [mm] \bruch{k}{2} [/mm] | = | [mm] \bruch{n(n+2)}{4} [/mm] | |
Die roten Klammern sollen die obere Gaußklammer ( Aufrundungsfunktion ) darstellen. Ich habe leider keine Grafik dazu gefunden.
Der IA: ist für n=1 korrekt aber für n=2 falsch, oder?
n=2:
[mm] |\bruch{2}{2}|=|\bruch{2(2+2)}{4}|= |0,5+1|=|0,75+2|=2\not=3
[/mm]
Viele Grüße macio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] | [mm]\bruch{k}{2}[/mm] |
> = | [mm]\bruch{n(n+2)}{4}[/mm] |
> Die roten Klammern sollen die obere Gaußklammer (
> Aufrundungsfunktion ) darstellen. Ich habe leider keine
> Grafik dazu gefunden.
innerhalb der Formel kannst du mit [mm] [nomm]$\red{}$[/nomm] [/mm] Formelteile rot einfärben. Der Befehl für die Aufrundefunktion lautet [mm] [nomm]$\lceil$[/nomm] [/mm] (liefert [mm] $\lceil$) [/mm] bzw. [mm] [nomm]$\rceil$[/nomm] [/mm] (liefert [mm] $\rceil$), [/mm] um das Symbol entsprechend bei Brüchen 'anzupassen' schreibst Du stattdessen [mm] [nomm]$\left\lceil$[/nomm] vor den Bruch bzw. [nomm]$\right\rceil$[/nomm] [/mm] hinter den Bruch.
Also:
[mm] $\;\;\;\summe_{k=1}^{n} \left\lceil\bruch{k}{2}\right\rceil=\left\lceil \frac{n(n+2)}{4}\right\rceil\,.$
[/mm]
>
> Der IA: ist für n=1 korrekt aber für n=2 falsch, oder?
> n=2:
> [mm]|\bruch{2}{2}|=|\bruch{2(2+2)}{4}|= |0,5+1|=|0,75+2|=2\not=3[/mm]
Ich sehe da auch für $n=2$ keine Probleme:
Einerseits ist dann
[mm] $\;\;\;\summe_{k=1}^{2} \left\lceil\bruch{k}{2}\right\rceil=\left\lceil\bruch{1}{2}\right\rceil+\left\lceil\bruch{2}{2}\right\rceil=1+1=2\,,$
[/mm]
andererseits ist
[mm] $\;\;\;\left\lceil\bruch{2*(2+2)}{4}\right\rceil=\left\lceil\bruch{2*4}{4}\right\rceil=\left\lceil2\right\rceil=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Fr 10.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Beweisen Sie:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] | [mm]\bruch{k}{2}[/mm] |
> > = | [mm]\bruch{n(n+2)}{4}[/mm] |
> > Die roten Klammern sollen die obere Gaußklammer (
> > Aufrundungsfunktion ) darstellen. Ich habe leider keine
> > Grafik dazu gefunden.
>
> innerhalb der Formel kannst du mit [mm]\red{}[/mm]
> Formelteile rot einfärben. Der Befehl für die
> Aufrundefunktion lautet [mm]\lceil[/mm] (liefert
> [mm]\lceil[/mm]) bzw. [mm]\rceil[/mm] (liefert [mm]\rceil[/mm]), um das
> Symbol entsprechend bei Brüchen 'anzupassen' schreibst Du
> stattdessen [mm]\left\lceil[/mm] vor den Bruch bzw.
> [mm]\right\rceil[/mm] hinter den Bruch.
>
> Also:
>
> [mm]\;\;\;\summe_{k=1}^{n} \left\lceil\bruch{k}{2}\right\rceil=\left\lceil \frac{n(n+2)}{4}\right\rceil\,.[/mm]
>
Muss der Beweis induktiv geführt werden?
Für gerade n (also n=2*m) beträgt die Summe 1+1+2+2+ ...+m+m [mm] =2*(1+2+...+m)=m(m+1)=\bruch{n(n+2)}{2*2}.
[/mm]
Für ungerade n (also n=2m+1) beträgt die Summe
1+1+2+2+ ...+m+m +m+1=(1+2+...+m)+(1+2+...+m+m+1)=0,5m(m+1)+0,5(m+1)(m+2)=...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 10.04.2009 | | Autor: | macio |
IS: n=n+1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\lceil\bruch{k}{2}\rceil=\summe_{k=1}^{n}\lceil\bruch{k}{2}\rceil+\lceil\bruch{n+1}{2}\rceil
[/mm]
[mm] =\lceil\bruch{n(n+2)}{4}\rceil+\lceil\bruch{n+1}{2}\rceil
[/mm]
[mm] =\lceil\bruch{2(n+1)*n(n+2)}{4}\rceil
[/mm]
hmm, wie gehtes weiter?
Viele Grüße
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> IS: n=n+1:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\lceil\bruch{k}{2}\rceil=\summe_{k=1}^{n}\lceil\bruch{k}{2}\rceil+\lceil\bruch{n+1}{2}\rceil[/mm]
>
> [mm]=\lceil\bruch{n(n+2)}{4}\rceil+\lceil\bruch{n+1}{2}\rceil[/mm]
>
> [mm]=\lceil\bruch{2(n+1)*n(n+2)}{4}\rceil[/mm]
Hallo,
dieser Gleichheit kann ich nicht folgen.
Achso, es soll wohl [mm] \lceil\bruch{2(n+1)\red{+}n(n+2)}{4}\rceil[/mm] [/mm] heißen,
aber auch diese Gleichheit wäre zumindest erklärungsbedürftig.
>
> hmm, wie gehtes weiter?
Ich würde bei
> [mm]=\lceil\bruch{n(n+2)}{4}\rceil+\lceil\bruch{n+1}{2}\rceil[/mm]
ansetzen und die Fälle n gerade und n ungerade unterscheiden.
Gruß v. Angela
>
> Viele Grüße
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