Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | | Zwei Matrizen A und B sind antikommutativ, wenn AB=-BA. Seien n [mm] \in \IN [/mm] ungerade und A;B reelle antikummative n x n Matrizen. Zeigen Sie, dass A oder B nicht invertierbar ist. Prüfen Sie, ob dies auch für gerade n gilt. |
Das ist eine Klausuraufgabe und ich habe sie nochmal nachgerechnet als wir sie zurück bekommen haben. ( Grüner text = Kommentare des Korrektor)
meine Idee :
z.z. B nicht invertierbar, deswegen det B = 0
det (AB) = -det(BA) warum?
1. det (AB) = det (A) * det (B)
2. det(-BA) = det ((-1)(BA))= -1 * det(BA) = - det (B) * det(A)
aus 1. & 2. folgt :
det (A) * det (B) = - det (B) * det(A)
sei det A [mm] \not= [/mm] 0
daraus folgt :
det B = -det B
2*det B = 0
det B = 0
ich wüsste gerne, was gemeint ist mit "warum" und wo der unterschied zwischen ungerade und gerade ist und wie somit der zweite Teil bearbeitet wird.
Danke
Gruß
lisa2802
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zwei Matrizen A und B sind antikommutativ, wenn AB=-BA.
> Seien n [mm]\in \INungerade[/mm] und A;B reelle antikummative n x n
Dass n ungerade sein soll, ist nicht zu lesen !
> Matrizen. Zeigen Sie, dass A oder B nicht invertierbar ist.
> Prüfen Sie, ob dies auch für gerade n gilt.
> Das ist eine Klausuraufgabe und ich habe sie nochmal
> nachgerechnet als wir sie zurück bekommen haben. ( Grüner
> text = Kommentare des Korrektor)
>
> meine Idee :
> z.z. B nicht invertierbar, deswegen det B = 0
> det (AB) = -det(BA) warum?
>
> 1. det (AB) = det (A) * det (B)
> 2. det(-BA) = det ((-1)(BA))= -1 * det(BA) = - det (B) *
> det(A)
>
> aus 1. & 2. folgt :
>
> det (A) * det (B) = - det (B) * det(A)
>
> sei det A [mm]\not=[/mm] 0
>
> daraus folgt :
>
> det B = -det B
> 2*det B = 0
> det B = 0
>
> ich wüsste gerne, was gemeint ist mit "warum" und wo der
> unterschied zwischen ungerade und gerade ist und wie somit
> der zweite Teil bearbeitet wird.
Ist M eine nxn_Matrix, so gilt:
[mm] $det(-M)=(-1)^n*det(M)$
[/mm]
Für ungerades n ist also det(-M)=-det(M). Ist aber n gerade, so ist det(-M)=det(M).
FRED
>
>
> Danke
>
> Gruß
> lisa2802
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Danke, manchmal steh ich echt auf dem Schlauch.
für n = ungerade steht oben ja die Lösung mit deiner ANmerkung.
aber für n gerade :
det A * det B = det B * det A
mit det A /not= 0, det B = 0
det B = det B
reicht das so ???????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, manchmal steh ich echt auf dem Schlauch.
>
>
> für n = ungerade steht oben ja die Lösung mit deiner
> ANmerkung.
>
> aber für n gerade :
>
> det A * det B = det B * det A
>
> mit det A /not= 0, det B = 0
>
> det B = det B
>
> reicht das so ???????
Natürlich nicht. Was soll daran "reichen" ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
ja deswegen frag ich so doof!
Wie soll denn der Beweis aussehen? Bzw. ein Tipp fände ich hilfreich!
Bzw wie prüfe ich in diesem Fall ob es auch für gerade n gilt.
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> ja deswegen frag ich so doof!
> Wie soll denn der Beweis aussehen? Bzw. ein Tipp fände
> ich hilfreich!
> Bzw wie prüfe ich in diesem Fall ob es auch für gerade n
> gilt.
Hallo,
ich weiß nicht, wie Schlauere als ich es tun, ich habe jedenfalls eben ein bißchen mit einfachen [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen experimentiert.
Hast Du das auch schon getan? Ergebnisse?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
ja hab ich auch schon... aber ich bin anscheinend zu doof dazu :D
klar sehe ich wie oben auch schon egal welche matrix A und welche matrix B ich nehme, dass die Aussage aufgeht. aber ich bekomme es einfach nicht hin...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja hab ich auch schon... aber ich bin anscheinend zu doof
> dazu :D
> klar sehe ich wie oben auch schon egal welche matrix A und
> welche matrix B ich nehme, dass die Aussage aufgeht.
Was geht auf ? Der Hefeteig ?
Es ist so: es gibt invertierbare 2x2 - Matrizen A und B mit AB=-BA.
Google mal "Pauli-Matrizen"
FRED
> aber
> ich bekomme es einfach nicht hin...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Das bringt mich nicht weiter!? ich weiß nicht was mir das bringen soll und naturlich weiß ich immer noch nicht wie die aufgaben zu ende geführt wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das bringt mich nicht weiter!? ich weiß nicht was mir das
> bringen soll und naturlich weiß ich immer noch nicht wie
> die aufgaben zu ende geführt wird.
Was soll das ???? Stellen wirs klar:
Gegeben: zwei nxn - Matrizen A und B mit
(1) AB=-BA.
Ist n ungerade, so folgt:
(2) det(A)=0 oder det(B)=0
So, nun stellt sich die Frage , ob aus (1) auch dann noch (2) folgt, wenn n gerade ist. Dass das i. a. nicht so ist, habe ich Dir gesagt. Wie Du geeignete Beispiele finden kannst, hab ich Dir auch gesagt.
Also , was soll das Gejammere, ich hab Dir doch fast alles vorgemacht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 01.10.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Also prüfe ich das wieder per "Gegenbeispiel"
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
A*B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
B* A [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
also gilt AB = -BA
ebenso wie Det (AB) = det (BA) = 1
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also prüfe ich das wieder per "Gegenbeispiel"
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 }[/mm]
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> A*B = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> B* A [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
>
> also gilt AB = -BA
> ebenso wie Det (AB) = det (BA) = 1
>
>
> Ist das so richtig?
Fast. Du hast AB = -BA und det(A) [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] det(B)
FRED
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