Bewegungsgleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Steinchen, das im Wasser sinkt, wird gemäß [mm] a(t)=g*e^{-b*t} [/mm] zeitlich exponentiell abnehmend beschleunigt. Dabei ist b eine positive Konstante, die von der Größe und von der Gestalt des Steins sowie von den physikalischen Eigenschaften des Wassers abhängt. Die Anfangsgeschwindigkeit sei null. Bestimmen Sie anhand dieser Angaben die Ortsfunktion des Steins in Abhängigkeit von der Zeit. |
Hallo,
mein Ansatz:
Die Beschleunigung ist ja die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Also integriere ich die Beschleunigungsfunktion:
[mm] \integral{g*e^{-b*t}dt}=-\br{g}{b}*e^{-b*t}=v(t)
[/mm]
Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist gilt:
[mm] \integral{-\br{g}{b}*e^{-b*t}dt}=\br{g}{b^2}*e^{-b*t}=x(t)
[/mm]
Irgendwie sieht die Lösung im Buch anders aus... Habe ich aber leider auch nicht verstanden... Kann mir jemand helfen?
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Hallo sonic,
"irgendwie anders" ist ja echt hilfreich als Hinweis...
> Ein Steinchen, das im Wasser sinkt, wird gemäß
> [mm]a(t)=g*e^{-b*t}[/mm] zeitlich exponentiell abnehmend
> beschleunigt. Dabei ist b eine positive Konstante, die von
> der Größe und von der Gestalt des Steins sowie von den
> physikalischen Eigenschaften des Wassers abhängt. Die
> Anfangsgeschwindigkeit sei null. Bestimmen Sie anhand
> dieser Angaben die Ortsfunktion des Steins in Abhängigkeit
> von der Zeit.
> Hallo,
> mein Ansatz:
> Die Beschleunigung ist ja die Ableitung der
> Geschwindigkeit nach der Zeit.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also integriere ich die
> Beschleunigungsfunktion:
>
> [mm]\integral{g*e^{-b*t}dt}=-\br{g}{b}*e^{-b*t}=v(t)[/mm]
Da fehlt die Integrationskonstante. Wie groß sie ist, kannst Du den Randbedingungen entnehmen.
> Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der
> Zeit ist gilt:
>
> [mm]\integral{-\br{g}{b}*e^{-b*t}dt}=\br{g}{b^2}*e^{-b*t}=x(t)[/mm]
Auch hier, siehe oben.
> Irgendwie sieht die Lösung im Buch anders aus... Habe ich
> aber leider auch nicht verstanden... Kann mir jemand
> helfen?
Wenn Du schon ein Buch hast, dann verrate doch wenigstens, was da steht. Das hilft allen, vor allem aber Dir selbst.
Grüße
reverend
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Im Lösungsbuch steht folgendes:
Die Beschleunigung ist zeitabhängig und daher nicht konstant. Wir legen das Koordinatensystem so an, dass die positive Richtung nach unten zeigt und der Ursprung in dem Punkt liegt, indem der Stein losgelassen wird. Für die Beschleunigung gilt nun:
[mm] a(t)=\br{dv}{dt}=g*e^{-b*t}
[/mm]
Nun werden die Variablen getrennt:
[mm] dv=g*e^{-b*t}dt
[/mm]
Jetzt wird von [mm] v_0=0 [/mm] bis v sowie von [mm] t_0=0 [/mm] bis t integriert:
[mm] v=\integral_{0}^{v}{dv'}=\integral_{0}^{ t}{g*e^{-b*t'}dt'}=\br{g}{b}(1-e^{-b*t})=v_{End}*(1-e^{-b*t})
[/mm]
Fangen wir mal mit den "gröbsten" Fragen an...
Warum wird hier bestimmt integriert und nicht unbestimmt? Wir suchen doch keinen Wert sondern eine Funktion.
Was bedeutet [mm] V_{End}?
[/mm]
Nun geht es weiter:
Ausgehend hiervon berechnen wir durch nochmalige Integration den Ort des Teilchens. Wir beginnen mit:
[mm] v=\br{dy}{dt}=v_{End}(1-e^{-b*t})
[/mm]
Erneute Trennung der Variablen ergibt:
[mm] dy=v_{End}(1-e^{-b*t})dt
[/mm]
Jetzt wird von [mm] y_0=0 [/mm] bis y und von [mm] t_0=0 [/mm] bis t integriert:
[mm] \integral_{0}^{y}{dy'}=\integral_{0}^{t}{v_{End}*(1-e^{-b*t})dt'}
[/mm]
Das ergibt:
[mm] y=v_{End}*t-\br{v_{End}}{b}*(1-e^{-b*t})
[/mm]
Hier habe ich im Prinzip diegleichen Fragen...
Kann mir jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Di 25.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Antwort hat schon Reverend gegeben. Betrachte zuerst Dein Ergebnis
$ \integral{g\cdot{}e^{-b\cdot{}t}dt}=-\br{g}{b}\cdot{}e^{-b\cdot{}t}=v(t) $
Die Vorzeichen von v und g sind entgegengesetzt. Also steigt der Stein und sinkt nicht. Da muss doch etwas nicht stimmen. Auch stimmt die Anfangsgeschwindigkeit nicht. Was erhältst Du so für v(0)? Ergänze v(t) + C und bestimme C.
$ \integral_0^t {g\cdot e^{-b\cdot t'}dt'}=\left[-\br{g}{b}\cdot{}e^{-b\cdot{}t'}\right]_0^t=-\br{g}{b}\cdot{}e^{-b\cdot{}t'}\right]_0^t + \br{b}{g} $
Nun zu:
> Fangen wir mal mit den "gröbsten" Fragen an...
>
> Warum wird hier bestimmt integriert und nicht unbestimmt?
> Wir suchen doch keinen Wert sondern eine Funktion.
>
Da die Integrationsgrenze keine Zahl sondern eine Variable ist, entsteht eine Funktion.
Diese Funktion muss die Anfangsbedingungen erfüllen. Du kannst Deine Variante nehmen und die fehlende Integrationskonstante bestimmen.
> Was bedeutet $ V_{End}? $
Setze in die Lösung $t = \infty$ ein. Dann siehst Du, dass es eine Grenze für die Geschwindigkeit gibt. Diese wird die Endgeschwindigkeit genannt. Skizziere Dir mal v(t).
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