Beweis-Spektralzerlegung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei V ein n-diemsionaler Vektorraum über [mm] \IK [/mm] und [mm] \phi: [/mm] V-> V linear. Weiters bezeichnen [mm] \lambda_1,..,\lambda_k [/mm] alle (verschiedenen) Eigenwerte und [mm] E_{\lambda_i} [/mm] = [mm] ker(\phi [/mm] - [mm] \lambda_i id_V) [/mm] die zugehörigen Eigenräume von [mm] \phi.
[/mm]
Ist [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar, und bezeichnen [mm] \pi_i [/mm] : V->V die mit der Zerlegung V= [mm] E_{\lambda_1} \oplus [/mm] .. [mm] \oplus E_{\lambda_k} [/mm] assoziierten Projektoren, dann gilt (spektralzerlegung von [mm] \phi)
[/mm]
[mm] \phi= \lambda_1 \pi_1 +...+\lambda_k \pi_k [/mm] |
Hallo,
Im Skriptum steht kein Beweis zu dem Satz der Spektralzerlegung.
Ich weiß [mm] \phi [/mm] ist diagonalisierbar dann gilt V= [mm] E_{ \lambda_1} \oplus [/mm] .. [mm] \oplus E_{\lambda_k} [/mm] nach Satz im Skriptum.
Laut Projektoren:
[mm] \pi_1 [/mm] (v)=v [mm] \forall [/mm] v [mm] \in E_{\lambda_1}
[/mm]
[mm] \pi_1 [/mm] (w)=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in E_{\lambda_i} [/mm] i [mm] \not=1
[/mm]
[mm] \pi_2 [/mm] (v)=v [mm] \forall [/mm] v [mm] \in E_{ \lambda_2}
[/mm]
[mm] \pi_1 [/mm] (w)=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in E_{ \lambda_i} [/mm] i [mm] \not=2
[/mm]
..
Für einen Eigenvektor v vom Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] gilt
[mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] * v
Aber weiter weiß nicht.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 07.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist v [mm] \in [/mm] V, so gilt
[mm] v=v_1+v_2+....+v_k [/mm] mit [mm] v_j \in E_{\lambda_j}.
[/mm]
Weiter ist [mm] \pi_j(v)=v_j, [/mm] also:
[mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \phi(v_1)+...+\phi(v_k)= \lambda_1 v_1+...+\lambda_k v_k=\lambda_1 \pi_1(v)+...+ \lambda_k \pi_k(v).
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Vielen Dank jetzt sehe ich es auch ;)
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