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Hallo!!Kann viell. jemand kontrollieren ob das richtig ist??
Also: Beweise,dass für alle x,y [mm] \in [/mm] R folgendes gilt:
| |x| - |y| | [mm] \le [/mm] |x-y| so ich bin folgendermaßen vorgegangen:
Habe versch. Fälle unterschieden
a.) x,y [mm] \ge [/mm] 0 => |x|=x |y|=y => |x-y| [mm] \le [/mm] |x-y| => wahre Aussage
b.) x,y [mm] \le [/mm] 0 => |-x|=x |-y|=y => |x-y| [mm] \le [/mm] |-x+y| => x [mm] \le [/mm] y
Das kommt mir ein bisschen komisch vor,denn dann würde es für x,y [mm] \le [/mm] 0 nur gelten,wenn x [mm] \le [/mm] y!!Stimmt aber nicht!!!
c.) x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \le [/mm] 0 => |x-y| [mm] \le [/mm] |x+y| => -y [mm] \le [/mm] y wahre Aussage
d.) y [mm] \ge [/mm] 0 und x [mm] \le [/mm] 0 => |x-y| [mm] \le [/mm] |-x-y| => -y [mm] \le [/mm] y whre Aussage
Kann mich jemand bitte "kritisieren" oder ausbessern?
Mfg daniel
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Grüße!
Der Ansatz ist nicht schlecht, mit Fallunterscheidung geht es - aber nicht so, wie Du es versuchst, leider.
Schauen wir uns Fall 1 an:
$x,y [mm] \leq [/mm] 0$. Wenn wir das zugrundelegen, dann gilt ganz richtig: $|x| = x$ und auch $|y| = y$, da beide Werte positiv sind.
Aber was ist mit $|x-y|$? Man kann nämlich NICHT auflösen: $|x - y| = |x| - |y|$!!
Statt dessen hängt der Wert des Ausdrucks davon ab, ob $x [mm] \leq [/mm] y$ ist oder nicht - denn für $x = 2$ und $y = 7$ (beide positiv!) ist $x - y = 2 - 7 = -5$ negativ!
Versuch beim Beweis also so vorzugehen: Unterscheide die Fälle, die für $x$ und $y$ auftreten können (positiv oder negativ) und mach dann jeweils eine kleine Fallunterscheidung, was mit der Differenz $x - y$ ist - dann kommst Du zum Ziel.
Lars
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Am einfachsten geht's mit der Dreiecksungleichung:
[mm]|x| = |(x - y) + y| \le |x-y| + |y|[/mm]. Daraus folgt [mm]|x| - |y| \le |x-y|[/mm]. Durch Vertauschen von x und y folgt die Behauptung.
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