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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Sei A eine Sigma-Algebra von Teilmengen Omega und sei P eine endlichadditive Abbildung von A nach [0,1] mit P(Omega) = 1. Zeigen Sie. dass P dann und nur dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, wenn A1 [mm] \supseteq [/mm] A2 [mm] \supseteq [/mm] A3 [mm] \supseteq... [/mm] aus A mit [mm] \cap [/mm] von n=1 bis unendlich An = [mm] \emptyset [/mm] stets [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] P(An) = 0 gilt. (Stetigkeit in der leeren Menge).
Habe schon probiert,aber bin nicht vorwärst gekommen.
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Hallo Phlipper,
nehmen wir an P ist ein W-Maß, dann gelten für P die Kolmogorow-Axiome, also
[mm]P(A)\in[0;1][/mm],
[mm]P(\Omega)=1[/mm],
[mm]P(A\cupB)=P(A)+P(B)[/mm], wenn A,B disjunkt.
Ich nenne [mm]B_i:=A_i\setminus A_{i+1}[/mm].
Dann ist für [mm]i,j\in\IN[/mm] [mm]P(A_i)=P(A_{i+j+1})+\sum_{k=i}^{i+j}P(B_k)[/mm].
Fallunterscheidung:
Gibt es ein i, so dass [mm]A_i=\emptyset[/mm], dann gilt:
[mm]0\le\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_n)\leP(A_i)=0[/mm].
Sind alle [mm] A_i [/mm] nichtleer, dann nehmen wir an, es gäbe eine untere Schranke für die W.keiten, d.h.
[mm]\exists\epsilon>0:\forall i\in\IN:P(A_i)\ge\epsilon[/mm].
Dann kann es für [mm]P(B_i)[/mm] keine untere Schranke [mm] \epsilon' [/mm] geben, andernfalls müsste [mm]P(A_1)\ge\epsilon+\lim_{k\rightarrow\infty}k\epsilon'[/mm] sein. Das widerspricht [mm]P(A_1)\le1[/mm].
[mm]\forall\epsilon>0:\exists\n_0\in\IN:\ i,j>n_0\Rightarrow P(A_i)-P(A_j)<\epsilon[/mm]
Also [mm]\forall\epsilon>0:\exists\n_0\in\IN: i,j>n_0 \Rightarrow\sum_{k=i}^{j-1}P(B_k)<\epsilon[/mm].
Mit der Beobachtung, dass [mm]P(A_i)=\sum_{k=i}^\infty P(B_k)[/mm], folgt dass [mm]P_{n_0+1}<\epsilon[/mm], im Widerspruch zur Annahme.
Die andere Beweisrichtung ist trivial.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 28.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hugo!
Was du am Anfang definiert hast, ist ein Inhalt und kein Maß, du benutzt ja auch die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] im Beweis.
Ich gebe morgen einen alernativen Beweis. Heute stürzt mir der Server zu oft ab. Ich schreibe was, will es absenden, und dann ist es weg.
Diesen Frust tue ich mir jetzt nicht noch einmal an...
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
bitte erwähne mir zuliebe  doch den Unterschied zwischen einem Inhalt und einem Maß.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hugo!
Ein Inhalt ist (nur) endlichadditiv, d.h. es gilt:
[mm] $P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)$
[/mm]
für endlich viele paarweise disjunkte messbare Mengen [mm] $A_1,\ldots, A_n$,
[/mm]
während ein Maß [mm] $\sigma$-additiv [/mm] ist, d.h. es gilt:
[mm] $P\left( \bigcup_{i \in \IN} A_i \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i)$
[/mm]
für eine Folge [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] paarweise disjunkter Mengen [mm] $A_n$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan,
vielen Dank für deine Erklärung. Jetzt geh ich wieder ein bisschen schlauer durchs Leben.
Ich wusste gar nicht, dass es 'Inhalte' gibt.
Hugo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
Es sie also [mm] $(\Omega, {\cal A})$ [/mm] ein Messraum und [mm] $P:{\cal A} \to [/mm] [0,1]$ eine endlichadditive Abbildung mit [mm] $P(\Omega)=1$, [/mm] also ein Wahrscheinlichkeitsinhalt.
Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:
(1) $P$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
(2) Wenn [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_n \in {\cal A}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist mit [mm] $A_n \subset A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] dann gilt:
[mm] $P\left( \bigcup\limits_{n \in \IN} A_n \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(A_n)$.
[/mm]
(3) Wenn [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_n \in {\cal A}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist mit [mm] $A_n \supset A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] dann gilt:
[mm] $P\left( \bigcap\limits_{n \in \IN} A_n \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(A_n)$.
[/mm]
(4) Wenn [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_n \in {\cal A}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist mit [mm] $A_n \supset A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] sowie [mm] $\bigcap\limits_{n \in \IN} A_n [/mm] = [mm] \emptyset$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(A_n) [/mm] = 0$.
Wir zeigen den Ringschluss $(1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (3) [mm] \Rightarrow [/mm] (4) [mm] \Rightarrow [/mm] (1)$.
Dann folgt insbesondere die behauptete Äquivalenz $(1) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (4)$.
$(1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2)$:
Mit [mm] $A_0:=\emptyset$ [/mm] sind die Mengen
[mm] $B_n:= A_n \setminus A_{n-1}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
paarweise disjunkte Mengen mit
[mm] $A_n [/mm] = [mm] B_1 \cup \ldots \cup B_n$
[/mm]
und
[mm] $\bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} B_n$.
[/mm]
Wegen der [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] von $P$ (denn $P$ ist nach Voraussetzung ein Maß) gilt:
[mm] $P\left( \bigcup_{n \in \IN} A_n\right) [/mm] = [mm] P\left( \bigcup_{n \in \IN} B_n\right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n \in \IN} P(B_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n P(B_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(B_1 \cup \ldots \cup B_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(A_n)$.
[/mm]
$(2) [mm] \Rightarrow [/mm] (3)$:
Wegen der Additivität gilt
[mm] $P(A_1 \setminus A_n) [/mm] = [mm] P(A_1) [/mm] - [mm] P(A_n)$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$.
[/mm]
Für die Folge [mm] $(B_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $B_n:= A_1 \setminus A_n$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
gilt nach Voraussetzung [mm] $B_n \in {\cal A}$ [/mm] und [mm] $B_n \subset B_{n+1}$ [/mm] (wegen [mm] $A_n \supset A_{n+1}$) [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Weiterhin ist:
[mm] $\bigcup_{n \in \IN} B_n [/mm] = [mm] A_1 \setminus \bigcap_{n \in \IN} A_n$,
[/mm]
und daher nach Voraussetung
[mm] $P(A_1) [/mm] - [mm] P\left( \bigcap_{n \in \IN} A_n \right) [/mm] = [mm] P\left(A_1 \setminus \bigcap_{n \in \IN} A_n \right) [/mm] = P [mm] \left( \bigcup_{n \in \IN} B_n \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(B_n) [/mm] = [mm] P(A_1) [/mm] - [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(A_n)$, [/mm] also folgt die Behauptung:
[mm] $P\left( \bigcap_{n \in \IN} A_n \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} P(A_n)$.
[/mm]
$(3) [mm] \Rightarrow [/mm] (4)$:
Dies ist trivial.
$(4) [mm] \Rightarrow [/mm] (1)$:
Es sei [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Menge paarweise disjunkter Mengen aus [mm] ${\cal A}$. [/mm] Setzt man
[mm] $B_n:= \bigcup_{m \in \IN} A_m \setminus \bigcup_{i=1}^n A_i$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$, [/mm] dann gilt:
[mm] $B_n \supset B_{n+1}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
und
[mm] $\bigcap_{n \in \IN} B_n [/mm] = [mm] \bigcup_{m \in \IN} A_m \setminus \bigcup_{i \in \IN} A_i [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Wegen der endlichen Additivität von $P$ gilt:
[mm] $P(B_n) [/mm] = [mm] P\left( \bigcup_{m \in \IN} A_m \setminus \bigcup_{i=1}^n A_i \right) [/mm] = [mm] P\left( \bigcup_{m \in \IN} A_m \right) [/mm] - P [mm] \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) [/mm] = [mm] P\left( \bigcup_{m \in \IN} A_m \right) [/mm] - [mm] \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)$.
[/mm]
Aus
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(B_n)=0$
[/mm]
folgt dann
[mm] $P\left( \bigcup_{m \in \IN} A_m \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i)$,
[/mm]
also die noch zu zeigende [mm] $\sigma$-Additivität.
[/mm]
Puh!!
Liebe Grüße
Stefan
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