Beweis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Aufgabe:
Zeigen Sie allgemein, dass sich der Mittelpunkt M eines Parallelogramms ABCD durch die Gleichung
(Vektor) OM= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (OA+OB+OC+OD)
berechnen lässt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Figurenzauber
unter der Voraussetzng dass es wirklich ein Parallelogramm ist
und
daß AC und BD Diagonalen sind
gilt
sowohl 2*OM = OA + OC als auch 2*OM = OB + OD
also
4*OM = OA + OB + OC + OD
(
aber eigentlich ist es egal, ob ( AC und BD ) oder ( AB und CD)
die Diagonalen sind
)
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Lösung,
Ich kann sie in ihrer Richtigkeit nachvollziehen, wäre aber noch dankbar zu erfahren worauf sich die Annahme 2OM=OA+OC gründet.
Grüße Sascha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Sascha,
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] ist doch die halbe Strecke zwischen [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OC}. [/mm] Um also vom Punkt [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] an den Punkt [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] zu gelangen, musst du 2 mal diese Strecke gehen.
Ebenso gelangst du von [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] nach [mm] \overrightarrow{OC}, [/mm] indem du [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] addierst, daher [mm] 2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}.
[/mm]
Sind die Punkte anders bezeichnet, so ändern sich halt die Ortsvektoren.
lg
Herby
|
|
|
| |
|
Hallo Sascha,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir würden uns über eine nette Anrede auch sehr freuen. 
> Aufgabe:
> Zeigen Sie allgemein, dass sich der Mittelpunkt M eines
> Parallelogramms ABCD durch die Gleichung
> (Vektor) OM= [mm]\bruch{1}{4}[/mm] (OA+OB+OC+OD)
> berechnen lässt.
>
Friedrich schrieb:
> > unter der Voraussetzng dass es wirklich ein Parallelogramm ist und
> > daß AC und BD Diagonalen sind, gilt:
> > sowohl 2*OM = OA + OC als auch 2*OM = OB + OD
> > also
> > 4*OM = OA + OB + OC + OD
Sicherlich kennst du die Formel für die Berechnung für die Mitte einer Strecke [mm] \overline{AC}:
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$ [/mm] Mitte der Strecke AC
[mm] $\Rightarrow 2*\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$
[/mm]
entsprechend:
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$ [/mm] Mitte der Strecke BD
Wenn man nun weiß, dass sich die Diagonalen halbieren, ist M jeweils derselbe Punkt und man darf beide Gleichungen addieren.
Jetzt klar(er)?
|
|
|
| |
|
Hallo informix, einen wunderschönen Feiertag wünsche ich dir und allen Nutzern dieses Forums. 
Also vielen Dank für die Erläuterung, ich kann sie gut nachvollziehen.
Grüße Sascha
|
|
|
|
