Beweis - wachsende Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Wir betrachten die Folge [mm] \{a_n\} _n_\in_\IR [/mm] , definiert durch [mm] a_0 [/mm] = 1 und
[mm] a_n_+_1 =\bruch{3a_n^2+2}{4a_n} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
1. Es sei die Funktion f: [mm] \IR^+ \to \IR^+ [/mm] definiert durch
f(x) = [mm] \bruch{3x^2+2}{4x}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f wachsend ist auf [mm] [1,\infty) [/mm] und dass für alle [mm] x\in [1,\wurzel{2}] [/mm] gilt [mm] f(x)\in [1,\wurzel{2}]. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, das [mm] a_n\in[1,\wurzel{2}] [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] |
Hallo,
versuche gerade die oben genannten Aufgaben zu lösen, komme jedoch an bestimmten Stellen nicht mehr weiter.
zu 1: Die Funktion ist wachsend, wenn für alle [mm] x\in\IR^+ [/mm] gilt [mm] f'(x)\ge0.
[/mm]
Als erstes habe ich mit Hilfe der Quotientenregel die Ableitung gebildet:
f'(x) = [mm] \bruch{6x*4x-(3x^2+2)*4}{16x^2} [/mm] = [mm] \bruch{24x^2-12x^2-8}{16x^2} [/mm] = [mm] \bruch{12x^2-8}{16x^2}
[/mm]
jetzt wollte ich zeigen, dass [mm] \bruch{12x^2-8}{16x^2} \ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR^+
[/mm]
[mm] \bruch{12x^2-8}{16x^2} \ge [/mm] 0 [mm] |*16x^2 [/mm] (für [mm] x\not=0)
[/mm]
[mm] 12x^2-8 \ge [/mm] 0
<=> [mm] 12x^2 \ge [/mm] 8
<=> [mm] x^2 \ge \bruch{2}{3}
[/mm]
wo liegt mein Fehler? 
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> Wir betrachten die Folge [mm]\{a_n\} _n_\in_\IR[/mm] , definiert
> durch [mm]a_0[/mm] = 1 und
>
> [mm]a_n_+_1 =\bruch{3a_n^2+2}{4a_n}[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm]
>
> 1. Es sei die Funktion f: [mm]\IR^+ \to \IR^+[/mm] definiert durch
>
> f(x) = [mm]\bruch{3x^2+2}{4x}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f wachsend ist auf [mm][1,\infty)[/mm] und dass
> für alle [mm]x\in [1,\wurzel{2}][/mm] gilt [mm]f(x)\in [1,\wurzel{2}].[/mm]
>
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, das
> [mm]a_n\in[1,\wurzel{2}][/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> Hallo,
>
> versuche gerade die oben genannten Aufgaben zu lösen,
> komme jedoch an bestimmten Stellen nicht mehr weiter.
>
> zu 1: Die Funktion ist wachsend, wenn für alle [mm]x\in\IR^+[/mm]
> gilt [mm]f'(x)\ge0.[/mm]
>
> Als erstes habe ich mit Hilfe der Quotientenregel die
> Ableitung gebildet:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{6x*4x-(3x^2+2)*4}{16x^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{24x^2-12x^2-8}{16x^2}[/mm] = [mm]\bruch{12x^2-8}{16x^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> jetzt wollte ich zeigen, dass [mm]\bruch{12x^2-8}{16x^2} \ge[/mm] 0
> für alle [mm]x\in\IR^+[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{12x^2-8}{16x^2} \ge[/mm] 0 [mm]|*16x^2[/mm] (für [mm]x\not=0)[/mm]
>
> [mm]12x^2-8 \ge[/mm] 0
>
> <=> [mm]12x^2 \ge[/mm] 8
>
> <=> [mm]x^2 \ge \bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> wo liegt mein Fehler?
wieso fehler? für [mm] |x|\ge\sqrt{2/3} [/mm] ist die funktion monoton wachsend, jedoch steht in der aufgabe ja, dass du nur x grösser 1 betrachtest, und auf dem intervall ist es ja monoton wachsend für x [mm] \in \IR
[/mm]
>
mfg tee
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ok, dann habe ich ja nix falsch gemacht
in Zwischenzeit ist mir noch ein anderer Lösungsansatz eingefallen, nämlich:
[mm] x_1\le x_2 [/mm] => [mm] f'(x_1)\le f'(x_2)
[/mm]
[mm] \bruch{12x_1^2-8}{16x_1^2} \le \bruch{12x_2^2-8}{16x_2^2}
[/mm]
[mm] \gdw (12x_1^2-8)(16x_2^2) \le (12x_2^2-8)(16x_1^2)
[/mm]
[mm] \gdw 192x_1^2x_2^2-128x_2^2 \le 192x_1^2x_2^2-128x_1^2
[/mm]
[mm] \gdw -128x_2^2 \le -128x_1^2
[/mm]
[mm] \gdw -x_2^2 \le -x_1^2
[/mm]
[mm] \gdw x_2^2 \ge x_1^2
[/mm]
[mm] \gdw x_2 \ge x_1
[/mm]
[mm] \gdw x_1 \le x_2 [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
welche Lösung wäre denn die Bessere?
und wie gehe ich an den zweiten Teil der 1. Aufgabe ran?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok, dann habe ich ja nix falsch gemacht
>
> in Zwischenzeit ist mir noch ein anderer Lösungsansatz
> eingefallen, nämlich:
>
> [mm]x_1\le x_2[/mm] => [mm]f'(x_1)\le f'(x_2)[/mm]
Das wäre konvex, nicht monoton wachsend.
Du meinst: [mm]x_1\le x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2)[/mm]
> und wie gehe ich an den zweiten Teil der 1. Aufgabe ran?
Da die Funktion monoton wachsend ist, nimmt sie den kleinsten Wert am linken und den größten Wert am rechten Rand an. Du musst also nur $f(1)$ und [mm] $f(\sqrt{2})$ [/mm] ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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Ok, habe die Aufgabe (denke ich) richtig gelöst dank eurer Hilfe 
könnt ihr mir noch sagen, ob ich mich in den Lösungssätzen richtig ausgedrückt habe?
Die Funktion f ist für |x| [mm] \ge \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] und insbesondere für x [mm] \ge \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] wachsend. Da [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] < 1 [mm] \le [/mm] x ist die Funktion also auch auf [mm] [1,\infty) [/mm] wachsend.
Da die Funktion im Intervall [mm] [1,\wurzel{2}] [/mm] wachsend ist, betrachtet man die Funktionswerte der Intervallgrenzen. Liegen diese im Intervall [mm] [1,\wurzel{2}], [/mm] so liegen auch alle dazwischen liegenden Funktionswerte in diesem Intervall.
[mm] f(1)=\bruch{5}{4} [/mm] => f(1) [mm] \in [1,\wurzel{2}]
[/mm]
[mm] f(\wurzel{2})= \wurzel{2} [/mm] => [mm] f(\wurzel{2}) \in [1,\wurzel{2}]
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, die Rechnung mit f' geheort aber natuerlich dazu.
Gruss leduart
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Ok, dann wäre die 1. Aufgabe fertig Bleibt nur noch die zweite, die ich so versucht habe:
IV: [mm] a_0 \in [1,\wurzel{2}]
[/mm]
=> [mm] a_0 [/mm] = 1
IS: [mm] a_n \in [1,\wurzel{2}] [/mm] => [mm] a_n_+_1 \in [1,\wurzel{2}]
[/mm]
da [mm] a_n_+_1 [/mm] schon gegeben ist, müsste ich doch nur prüfen, ob es [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] \le \wurzel{2} [/mm] ist. Aber wie mache ich das? Und ist das überhaupt der richtige Ansatz?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 So 25.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, dann wäre die 1. Aufgabe fertig Bleibt nur noch
> die zweite, die ich so versucht habe:
>
> IV: [mm]a_0 \in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> => [mm]a_0[/mm] = 1
>
> IS: [mm]a_n \in [1,\wurzel{2}][/mm] => [mm]a_n_+_1 \in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> da [mm]a_n_+_1[/mm] schon gegeben ist, müsste ich doch nur prüfen,
> ob es [mm]\ge[/mm] 1 und [mm]\le \wurzel{2}[/mm] ist. Aber wie mache ich das?
> Und ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Überleg dir doch mal, was die Folge mit der Funktion zu tun hat! Warum hast du wohl diese Aussage für die FUnktion gezeigt?
Viele Grüße
Rainer
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Ich hab ja gezeigt, dass die Funktion wachsend ist, [mm] f(1)=\bruch{5}{4} [/mm] und [mm] f(\wurzel{2})=\wurzel{2} [/mm] ergibt.
Die Folge wird ja sozusagen durch die Funktion beschrieben (kann man das so sagen?). Wenn die Funktion wachsend ist, dann ist auch die Folge wachsend?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 25.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hab ja gezeigt, dass die Funktion wachsend ist,
> [mm]f(1)=\bruch{5}{4}[/mm] und [mm]f(\wurzel{2})=\wurzel{2}[/mm] ergibt.
>
> Die Folge wird ja sozusagen durch die Funktion beschrieben
Könnte man sagen. Es ist doch
[mm] a_{n+1} = f(a_n) [/mm].
Was folgt also aus den Eigenschaften der Funktion, insbesondere für deinen Induktionsschritt?
> (kann man das so sagen?). Wenn die Funktion wachsend ist,
> dann ist auch die Folge wachsend?
So einfach nicht. Die Aussage "die Funktion ist wachsend" vergleicht doch zwei Funktionswerte an zwei verschiedenen Stellen. Für die Folge musst du aber ein x mit f(x) in Beziehung bringen.
Viele Grüße
Rainer
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ich habe mir jetzt folgendes aufgeschrieben:
[mm] f(a_n) [/mm] = [mm] \bruch{3a_n^2+2}{4a_n} [/mm] = [mm] a_n_+_1
[/mm]
Das heißt doch, dass die Funktion an der x-Stelle [mm] a_n [/mm] den Funktionswert [mm] a_n_+_1 [/mm] besitzt?
Muss ich jetzt herausbekommen, welchen Funktionswert die Funktion an der Stelle [mm] a_n_+_1 [/mm] hat?
Man könnte doch auch sagen, dass [mm] f(a_n) \le f(a_n_+_1) [/mm] wenn [mm] a_n \le a_n_+_1 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
koennte man sagen, aber was hilft es?
Du willst doch zeigen, dass [mm] an
Gruss leduart
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ich bin nun auf folgende Rechnung gekommen
[mm] a_n_+_1 [/mm] > [mm] a_n
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3a_n^2+2}{4a_n} [/mm] > [mm] a_n
[/mm]
[mm] \gdw 3a_n^2+2 [/mm] > [mm] 4a_n^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 > [mm] a_n^2
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{2} [/mm] > [mm] |a_n|
[/mm]
bringt mich das weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das heisst von hinten nach vorn geschrieben, wenn [mm] a_n [/mm] durch [mm] \wurzel{2} [/mm] beschraenkt ist, dann ist die Folge wachsend. und beschraenkt.
Warum versuchst du nicht deine fkt zu verwenden. da fehlt nur noch ein Schritt.
Gruss leduart
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hm.. wenn [mm] a_n [/mm] beschränkt ist durch [mm] \wurzel{2}, [/mm] soll ich dann zeigen, dass auch [mm] a_n_+_1 [/mm] durch [mm] \wurzel{2} [/mm] beschränkt ist?
also:
[mm] \bruch{3a_n^2+2}{4a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \gdw 3a_n^2+2 [/mm] < [mm] 4\wurzel{2}*a_n
[/mm]
[mm] \gdw 3a_n^2-4\wurzel{2}*a_n+2 [/mm] < 0
[mm] \gdw a_n^2-\bruch{4\wurzel{2}}{3}*a_n+\bruch{2}{3} [/mm] < 0
[mm] a_n=\bruch{4\wurzel{2}}{6}\pm \wurzel{(\bruch{4\wurzel{2}}{6})^2-\bruch{2}{3}}
[/mm]
oder muss ich was anderes machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ueberlegung hilft hier nichts. aber du hast fuer fuer f(x) doch gezeigt, wenn x aus [mm] [1.\wurzel{2}] [/mm] dann auch f(x)
d.h. wemm [mm] s_n [/mm] aus dem Intervall, dann auch [mm] a_{n+1}
[/mm]
warum nutzt du nicht aus, was du schon hast?
du hast [mm] a_1 [/mm] aus dem Intervall, also auch [mm] a_2 [/mm] usw also alle [mm] a_n.
[/mm]
Gruss leduart
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kann man [mm] [1,\wurzel{2}] [/mm] als so eine Art Definitionsbereich ansehen?
und wenn [mm] a_n [/mm] aus diesem Intervall ist, dann ist [mm] f(a_n) [/mm] in dem Intervall.
jetzt soll ich zeigen, dass wenn [mm] a_n_+_1 [/mm] im Intervall [mm] [1,\wurzel{2}], [/mm] dann auch [mm] f(a_n_+_1) [/mm] in [mm] [1,\wurzel{2}].
[/mm]
Da [mm] a_n [/mm] < [mm] \wurzel{2} [/mm] kann [mm] a_n_+_1 [/mm] ja nur [mm] \le \wurzel{2} [/mm] sein, somit würde sowohl [mm] a_n_+_1 [/mm] als auch [mm] f(a_n_+_1) [/mm] im Intervall [mm] [1,\wurzel{2}] [/mm] liegen.
So richtig?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Mo 26.10.2009 | | Autor: | together |
Ich habe es jetzt so versucht:
[mm] a_{n+1}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}}
[/mm]
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{3*a_{n-1}^2+2}{4a_{n-1}}
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] a_{1}=\bruch{3*a_{1-1}^2+2}{4a_{1-1}}=\bruch{3*1^2+2}{4*1}= \bruch{5}{4} \in [/mm] [1, [mm] \wurzel{2}].
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] n\in \IN, a_{n} \in [/mm] [1, [mm] \wurzel{2}] [/mm] gilt.
n
Induktionsschluss: [mm] a_{n} \in [/mm] [1, [mm] \wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in [/mm] [1, [mm] \wurzel{2}]
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in [/mm] [1, [mm] \wurzel{2}]
[/mm]
Oder ist das nicht korrekt?
Falls ich irgendwas nicht richtig aufgeschrieben habe, bin ich für Hinweise dankbar.
VG
together
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe es jetzt so versucht:
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}}[/mm]
> [mm]a_{0}=1[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{3*a_{n-1}^2+2}{4a_{n-1}}[/mm]
>
> Induktionsanfang: n=1
>
> [mm]a_{1}=\bruch{3*a_{1-1}^2+2}{4a_{1-1}}=\bruch{3*1^2+2}{4*1}= \bruch{5}{4} \in[/mm]
> [1, [mm]\wurzel{2}].[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]n\in \IN, a_{n} \in[/mm] [1,
> [mm]\wurzel{2}][/mm] gilt.
> n
> Induktionsschluss: [mm]a_{n} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
Wie kommt der letzte Folgepfeil zustande ? Das mußt Du noch begründen !!
FRED
>
> Oder ist das nicht korrekt?
> Falls ich irgendwas nicht richtig aufgeschrieben habe, bin
> ich für Hinweise dankbar.
>
> VG
> together
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 26.10.2009 | | Autor: | together |
> > Ich habe es jetzt so versucht:
> >
> > [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}}[/mm]
> > [mm]a_{0}=1[/mm]
> > [mm]a_{n}=\bruch{3*a_{n-1}^2+2}{4a_{n-1}}[/mm]
> >
> > Induktionsanfang: n=1
> >
> > [mm]a_{1}=\bruch{3*a_{1-1}^2+2}{4a_{1-1}}=\bruch{3*1^2+2}{4*1}= \bruch{5}{4} \in[/mm]
> > [1, [mm]\wurzel{2}].[/mm]
> >
> > Induktionsvoraussetzung: [mm]n\in \IN, a_{n} \in[/mm] [1,
> > [mm]\wurzel{2}][/mm] gilt.
> > n
> > Induktionsschluss: [mm]a_{n} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> > [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
> >
> >
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> > [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
>
>
> Wie kommt der letzte Folgepfeil zustande ? Das mußt Du
> noch begründen !!
>
> FRED
>
Reicht hier dann einfach noch zu schreiben, gemäß Induktionsvoraussetzung folgt, dass...?
VG
together
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> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> > > [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
> >
> >
> > Wie kommt der letzte Folgepfeil zustande ? Das mußt Du
> > noch begründen !!
> >
> > FRED
> >
> Reicht hier dann einfach noch zu schreiben, gemäß
> Induktionsvoraussetzung folgt, dass...?
Hallo,
nein, das reicht nicht.
das ist bisher lediglich eine behauptung.
Du mußt vorrechnen, daß das stimmt.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ist diese Überlegung denn richtig?
man geht ja davon aus, dass [mm] a_n \in [1,\wurzel{2}], [/mm] also auch [mm] f(a_n) \in [1,\wurzel{2}].
[/mm]
Da [mm] f(a_n) [/mm] = [mm] a_n_+_1 [/mm] ist [mm] a_n_+_1 \in [1,\wurzel{2}] [/mm] und somit [mm] f(a_n_+_1) \in [1,\wurzel{2}].
[/mm]
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> Hallo,
>
> ist diese Überlegung denn richtig?
>
> man geht ja davon aus, dass [mm]a_n \in [1,\wurzel{2}],[/mm] also
> auch [mm]f(a_n) \in [1,\wurzel{2}].[/mm]
>
> Da [mm]f(a_n)[/mm] = [mm]a_n_+_1[/mm] ist [mm]a_n_+_1 \in [1,\wurzel{2}][/mm] und
> somit [mm]f(a_n_+_1) \in [1,\wurzel{2}].[/mm]
Hallo,
[mm] f(a_{n+1}) [/mm] interessiert einen dann schon nicht mehr so sehr.
Deine Überlegungen sind richtig
Schreib das jetzt als richtig schönen induktionsbeweis mit allem Drum und Dran auf, dann hast Du's.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ronni |
> > Hallo,
> >
> > ist diese Überlegung denn richtig?
> >
> > man geht ja davon aus, dass [mm]a_n \in [1,\wurzel{2}],[/mm] also
> > auch [mm]f(a_n) \in [1,\wurzel{2}].[/mm]
> >
> > Da [mm]f(a_n)[/mm] = [mm]a_n_+_1[/mm] ist [mm]a_n_+_1 \in [1,\wurzel{2}][/mm] und
> > somit [mm]f(a_n_+_1) \in [1,\wurzel{2}].[/mm]
>
>
> Deine Überlegungen sind richtig
>
> Schreib das jetzt als richtig schönen induktionsbeweis mit
> allem Drum und Dran auf, dann hast Du's.
>
> Gruß v. Angela
Hallo,
also, ich verstehe zwar die Überlegungen, aber ich stehe trotzdem auf dem Schlauch was die Induktion angeht...
Ist der I.A. dann [mm] a_{0} [/mm] gilt?
Kannst du mir vielleicht einen Tipp zu I.V. und I.S. geben?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
I.A [mm] a_1=1 [/mm] also [mm] a_1 in\wurzel{2}
[/mm]
Ind. Vors: [mm] a_n [/mm] liegt in [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Ind. Beh [mm] a_{n+1} [/mm] liegt in [mm] \wurzel{2}
[/mm]
wird mit Hilfe ddes Ergebnisse aus Teil 1 der Aufgabe gezeigt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mi 28.10.2009 | | Autor: | together |
> hallo
> I.A [mm]a_1=1[/mm] also [mm]a_1 in\wurzel{2}[/mm]
> Ind. Vors: [mm]a_n[/mm] liegt in
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
> Ind. Beh [mm]a_{n+1}[/mm] liegt in [mm]\wurzel{2}[/mm]
> wird mit Hilfe ddes Ergebnisse aus Teil 1 der Aufgabe
> gezeigt.
> Gruss leduart
[mm] a_0=1 [/mm] und nicht [mm] a_1=1!!
[/mm]
aber ich stehe auch weiterhin auf dem Schlauch...
Grüße
together
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ronni |
Habe es jetzt so gemacht:
I.A.: $ [mm] a_{o}=1 \Rightarrow a_{o}\in [1,\wurzel{2}] [/mm] $
I.V.: die Beh. gilt
I.S.: $ [mm] a_{n}\in [1,\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in [1,\wurzel{2}] [/mm] $
aus 1.1 ist bekannt: wenn $ [mm] a_{n}\in [1,\wurzel{2}], [/mm] $ dann auch $ [mm] f(a_{n})\in [1,\wurzel{2}] [/mm] $
also reicht es zu zeigen, dass $ [mm] a_{n+1}=f(a{n}) [/mm] $
dass hab ich einfach so gezeigt: $ [mm] a_{0}=1 [/mm] $ , $ [mm] a_{1}=f(a_{0}, a_{2}=f(a_{1}), [/mm] $ ..., $ [mm] a_{n+1}=f(a_{n}) [/mm] $
Aber ob das jetzt so korrekt gelöst ist kann ich auch nicht sagen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Habe es jetzt so gemacht:
>
> I.A.: [mm]a_{o}=1 \Rightarrow a_{o}\in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> I.V.: die Beh. gilt
hier solltest du besser die Beh. hinschreiben.
> I.S.: [mm]a_{n}\in [1,\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> aus 1.1 ist bekannt: wenn [mm]a_{n}\in [1,\wurzel{2}],[/mm] dann
> auch [mm]f(a_{n})\in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> also reicht es zu zeigen, dass [mm]a_{n+1}=f(a{n})[/mm]
Den Rest kapier ich nicht. [mm] a_{n+1}=\bruck{3a_n+2}{4a_n}=f(a_n) [/mm] aus 1.1 und definition der Folge.
was jetzt kommt ist irgendwie das Prinzip der vollst. Induktion erklärt. nicht toll aber etwa. das sollst du aber nicht, du sollst sie einfach benutzen.
also lass das weg.
> dass hab ich einfach so gezeigt: [mm]a_{0}=1[/mm] , [mm]a_{1}=f(a_{0}, a_{2}=f(a_{1}),[/mm]
> ..., [mm]a_{n+1}=f(a_{n})[/mm]
>
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Di 27.10.2009 | | Autor: | together |
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> >
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> > > > [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
> > >
> > >
> > > Wie kommt der letzte Folgepfeil zustande ? Das mußt Du
> > > noch begründen !!
> > >
> > > FRED
> > >
> > Reicht hier dann einfach noch zu schreiben, gemäß
> > Induktionsvoraussetzung folgt, dass...?
>
>
> Hallo,
>
> nein, das reicht nicht.
>
> das ist bisher lediglich eine behauptung.
>
> Du mußt vorrechnen, daß das stimmt.
>
> Gruß v. Angela
Kann mir hier jemand einen Anstoss geben, wie ich das mache?
Oder ist der Weg total kompliziert und es geht anders einfacher?
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> Kann mir hier jemand einen Anstoss geben, wie ich das
> mache?
Hallo,
der Gratwanderer hat die Beweisidee mithilfe der Funktion f und ihren Eigenschaften doch heute um 0:48 Uhr schon genannt.
Mach daraus 'ne schöne Induktion - aber das hab# ich heute morgen sinngemäß schonmal geschreiben...
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 26.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst endlich mal anwenden was du im ersten Teil mit der fkt bewiesen hast.
[mm] a_1=1 [/mm] also aus [mm] [1,\wurzel{2}] [/mm] dann ist [mm] a_2=f(a1) [/mm] auch in dem Interwall, wie in 1) gezeigt.
per sehr einfacher Induktion folgt dann alle [mm] a_n [/mm] liegen in dem Intervall.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Di 27.10.2009 | | Autor: | together |
> Hallo
> du musst endlich mal anwenden was du im ersten Teil mit
> der fkt bewiesen hast.
> [mm]a_1=1[/mm] also aus [mm][1,\wurzel{2}][/mm] dann ist [mm]a_2=f(a1)[/mm] auch in
> dem Interwall, wie in 1) gezeigt.
> per sehr einfacher Induktion folgt dann alle [mm]a_n[/mm] liegen in
> dem Intervall.
> Gruss leduart
Wieso ist denn [mm]a_1=1[/mm]? Ich habe doch nur [mm]a_n=0[/mm] vorgegeben... Ich stehe echt voll auf dem schlauch.
Über Hinweise bin ich dankbar!
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> > Hallo
> > du musst endlich mal anwenden was du im ersten Teil mit
> > der fkt bewiesen hast.
> > [mm]a_1=1[/mm] also aus [mm][1,\wurzel{2}][/mm] dann ist [mm]a_2=f(a1)[/mm] auch
> in
> > dem Interwall, wie in 1) gezeigt.
> > per sehr einfacher Induktion folgt dann alle [mm]a_n[/mm] liegen in
> > dem Intervall.
> > Gruss leduart
>
> Wieso ist denn [mm]a_1=1[/mm]?
> Ich habe doch nur [mm]a_n=0[/mm] vorgegeben...
Hallo,
Quatsch!
Du hattest [mm] a_0=1 [/mm] angegeben und nicht [mm] a_1=1. [/mm] das spielt aber nicht so die große Rolle.
Du hast [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_1=f(a_0) [/mm] und [mm] a_2=f(a_1) [/mm] usw.
Also [mm] a_{n+1}=f(a_n) [/mm] für [mm] n\in \IN,
[/mm]
und dies kannst Du Dir für eine induktion, in welcher Du die zu zeigende Behauptung [mm] a_n\in [1,\wurzel{2}] [/mm] zunutze machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 28.10.2009 | | Autor: | together |
Ich finde die Verbindung irgendwie nicht....
Kann mir hier jemand Hinweise zur INduktionsvoraussetzung und zum INduktionsschluss geben?
Vielen Dank.
together
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hab ich grad ronni gezeigt, sieh da nach.
Gruss leduart
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> [mm]f(1)=\bruch{5}{4}[/mm] => f(1) [mm]\in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
> [mm]f(\wurzel{2})= \wurzel{2}[/mm] => [mm]f(\wurzel{2}) \in [1,\wurzel{2}][/mm]
>
Ich habe bei [mm]f(\wurzel{2})=2/\wurzel{2}[/mm] raus... oder habe ich da einen Fehler drin?
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hast alles richtig gemacht, aber
[mm] 2/\wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
Man kann monoton wachsend ja auch so zeigen:
[mm]x_1\le x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2)[/mm]
[mm] f(x_{1})=\bruch{3x_{1}^{2}+2}{4x_{1}}
[/mm]
[mm] f(x_{2})=\bruch{3x_{2}^{2}+2}{4x_{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{3x_{1}^{2}+2}{4x_{1}}\le\bruch{3x_{2}^{2}+2}{4x_{2}}
[/mm]
[mm] \gdw {12x_{1}^{2}*x_{2}}+{8x_{2}}\le\ {12x_{2}^{2}*x_{1}}+{8x_{1}}
[/mm]
Und jetzt hänge ich...wie krieg ich denn nun [mm] x_{1} [/mm] isoliert?
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> [mm]\gdw {12x_{1}^{2}*x_{2}}+{8x_{2}}\le\ {12x_{2}^{2}*x_{1}}+{8x_{1}}[/mm]
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> Und jetzt hänge ich...wie krieg ich denn nun [mm]x_{1}[/mm]
> isoliert?
Damit hab ich es auch schon probiert. Hab dann so weitergemacht:
[mm] \gdw 12x_2x_1^2-12x_2^2x_1-8x_1+8x_2 \le [/mm] 0
[mm] \gdw x_1^2-(\bruch{12x_2^2+8}{12x_2})*x_1+8x_2 \le [/mm] 0
dann hab ich die p-q-Formel angewendet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
> > [mm]\gdw {12x_{1}^{2}*x_{2}}+{8x_{2}}\le\ {12x_{2}^{2}*x_{1}}+{8x_{1}}[/mm]
>
> >
> > Und jetzt hänge ich...wie krieg ich denn nun [mm]x_{1}[/mm]
> > isoliert?
>
> Damit hab ich es auch schon probiert. Hab dann so
> weitergemacht:
>
> [mm]\gdw 12x_2x_1^2-12x_2^2x_1-8x_1+8x_2 \le[/mm] 0
>
> [mm]\gdw x_1^2-(\bruch{12x_2^2+8}{12x_2})*x_1+8x_2 \le[/mm] 0
>
> dann hab ich die p-q-Formel angewendet
Wie kommst Du denn auf den letzten Term?
Und ich dachte pq-Formel geht immer nur bei =0??
Kannst Du mir noch weiter auf die Sprünge helfen?
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also auf den letzten Term bin ich gekommen, indem ich [mm] -x_1 [/mm] ausgeklammert habe und dann durch [mm] 12x_2 [/mm] geteilt hab.
also:
[mm] 12x_2x_1^2-12x_2x_1-8x_1+8x_2 \le [/mm] 0
^^^^^^^ (hier [mm] -x_1 [/mm] ausklammern)
[mm] \gdw12x_2x_1^2-(12x_2+8)x_1+8x_2 \le [/mm] 0
(jetzt hab ich durch [mm] 12x_2 [/mm] geteilt)
[mm] \gdw x_1^2-(\bruch{12x_2^2+8}{12x_2})x_1+\bruch{2}{3} \le [/mm] 0
mit der p-q-Formel würde das dann so aussehen:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{12x_2^2+8}{24x_2} \pm \wurzel{(\bruch{12x_2^2+8}{24x_2})^2-\bruch{2}{3}} \le [/mm] 0
wobei ich mir auch nicht sicher bin ob man das so machen darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die pq Formel beruht ja auf quadratischer Ergaenzung, das kann man natuerich auch fuer ne Ungleichung, und wenn man die 2 stellen =0 kennt weiss man auch wo der term sein vorzeichen wechselt usw.
Aber was ihr hier macht ist beinahe so kompliziert, als wolltet ihr die ableitung der fkt berechnen, denn ihr muesst ja am schluss wieder irgendwie x1<x2 oder x2-x1>0 reinkriegen. wenn ihr also wirklich f(x2)-f(x1)=A(x2-x1) raushaettet, waer ja fuer x2 gegen x1 A die Ableitung.
Nun hat man aber die Ableitungsregeln fuer zusammnegesetzte fkt. und muss die Abl. so ner komplizierten fkt nicht von 0 an ausrechnen. das tut ihr im Prinzip!
Dieser Versuch des direkten Beweisens ist wirklich sehr aufwendig. Da erkennt man erst mal wie schoen die erfindung der differentialrechng und ihre anwendung ist!!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
also besser mit [mm] f'\ge [/mm] 0 arbeiten?
Allerdings hatten wir das so noch nicht und es gab nur den Hinweis für eine wachsende Funktion in der Form: [mm] x_{1}\le x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\le f(x_{2})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 25.10.2009 | | Autor: | together |
also besser mit [mm]f'\ge[/mm] 0 arbeiten?
Allerdings hatten wir das so noch nicht und es gab nur den
Hinweis für eine wachsende Funktion in der Form: [mm]x_{1}\le x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\le f(x_{2})[/mm]
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Wenn [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] => [mm] f(x_1) [/mm] < [mm] f(x_2), [/mm] dann weist die Funktion an jeder Stelle eine positive Steigung auf. Also f'(x)>0
Bei monoton wachsenden (nicht streng monoton wachsenden) Funktionen genügt es [mm] f'(x)\ge [/mm] 0 zu zeigen.
aus Wikipedia:
In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies die Aufgabe genau! fuer welche x soll das denn gelten?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 26.10.2009 | | Autor: | together |
| Aufgabe | Wir betrachten die Folge [mm]\{a_n\} _n_\in_\IR[/mm] , definiert durch [mm]a_0[/mm] = 1 und
[mm]a_n_+_1 =\bruch{3a_n^2+2}{4a_n}[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm]
1. Es sei die Funktion f: [mm]\IR^+ \to \IR^+[/mm] definiert durch
f(x) = [mm]\bruch{3x^2+2}{4x}.[/mm]
Zeigen Sie, dass f wachsend ist auf [mm][1,\infty)[/mm] und dass
für alle [mm]x\in [1,\wurzel{2}][/mm] gilt [mm]f(x)\in [1,\wurzel{2}].[/mm]
2. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, das
[mm]a_n\in[1,\wurzel{2}][/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Teil 1 habe ich gemacht.
Teil 2 (mein Ansatz dazu steht auch schon in einer anderen Frage, allerdings habe ich vergleichbare Ansätze zu meinem gesehen, die als falsch deklariert wurden, daher stelle ich die Bitte nochmal, dass jemand hier mal drüber sieht. Ich hoffe das ist in Ordnung...möchte nur sicher gehen, dass es stimmt.)
Hier mein Ansatz:
[mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}}[/mm]
[mm]a_{0}=1[/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{3*a_{n-1}^2+2}{4a_{n-1}}[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm]a_{1}=\bruch{3*a_{1-1}^2+2}{4a_{1-1}}=\bruch{3*1^2+2}{4*1}= \bruch{5}{4} \in[/mm]
[1, [mm]\wurzel{2}].[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm]n\in \IN, a_{n} \in[/mm] [1,
[mm]\wurzel{2}][/mm] gilt.
Induktionsschluss: [mm]a_{n} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
[mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße
together
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> Induktionsschluss: [mm]a_{n} \in[/mm] [1, [mm]\wurzel{2}] \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3*a_{n+1-1}^2+2}{4a_{n+1-1}}=\bruch{3*a_{n}^2+2}{4a_{n}} \Rightarrow a_{n+1} \in[/mm]
> [1, [mm]\wurzel{2}][/mm]
>
> Stimmt das so?
hallo,
den letzten Pfeil mußt Du schon irgendwie vorrechnen.
Bisher ist die Folgerung eine bloße Behauptung.
Gruß v. Angela
>
> Viele Grüße
> together
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo together!
Ich meine, dass Du hier auch nicht direkt nachweisen kannst, dass [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[1;\wurzel{2}\right]$ [/mm] gilt.
Das musst Du wohl in zwei Teilungleichungen zerlegen und separat nachweisen:
[mm] $$a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
[mm] $$a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:54 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit dem was im ersten Teil über f(x) gezeigt wurde, geht das auf einmal.
Gruss leduart
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