Beweis (1+x)^n >= 1+nx < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 07.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Beweisen Sie für x>=-1, n€N
[mm] (1+x)^n [/mm] >= 1+nx |
Ich habe mal:
Induktionsanfang
n=1
(1+x)>=(1+x) -> w.A.
n -> n+1
[mm] (1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x
[/mm]
[mm] (1+x)^{n+1}>=1+nx+x
[/mm]
[mm] (1+x)^{n+1}>=(1+x)(n+1)-n
[/mm]
ist jetzt daraus schon ersichtlich das die ungleichung stimmt???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 07.06.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo elmanuel!
Nein, das ist hier m.E. nicht ersichtlich. Zudem hast Du auch nicht die Induktionsvoraussetzung angewandt.
Beginne im Induktionsschritt wie folgt:
[mm] $(1+x)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (1+x)^n*(1+x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 08.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
Danke Loddar !
also ich hab jetzt:
[mm] (1+x)^{n+1}=
[/mm]
[mm] (1+x)(1+x)^n>=1+(n+1)x
[/mm]
(1+x)* [mm] \color{blue}(1+x)^n>=1+nx [/mm] +x
[mm] \color{blue}(1+x)^n>=(1+nx)>=(1+x)>x
[/mm]
[mm] \color{blue}(1+x)^n>=(1+nx)>=(1+x)>=0, \color{blue} [/mm] x>=-1
Folgt daraus jetzt schon der Beweis oder bin ich aufm Holzweg??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 08.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke Loddar !
>
> also ich hab jetzt:
>
> [mm](1+x)^{n+1}=[/mm]
>
> [mm](1+x)(1+x)^n>=1+(n+1)x[/mm]
Hier ist der Wunsch Vater des Gedankens. Warum soll das gelten?!?
Du kannst lediglich aus der Induktionsvoraussetzung
[mm] (1+x)^n\ge [/mm] 1+nx (durch beidseitige Multiplikation mit (1+x)) schließen, dass dann auch
[mm] (1+x)*(1+x)^n\ge [/mm] (1+x)(1+nx) gilt.
Der linke Term ist das gewünschte [mm] (1+x)^{n+1}, [/mm] und vom rechten Term musst du nachweisen, dass er größer oder gleich 1+(n+1)x ist.
Gruß Abakus
> (1+x)* [mm]\color{blue}(1+x)^n>=1+nx[/mm] +x
>
> [mm]\color{blue}(1+x)^n>=(1+nx)>=(1+x)>x[/mm]
> [mm]\color{blue}(1+x)^n>=(1+nx)>=(1+x)>=0, \color{blue}[/mm]
> x>=-1
>
> Folgt daraus jetzt schon der Beweis oder bin ich aufm
> Holzweg??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 08.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
ok das ist kein problem
[mm] (1+x)(1+x)^n>=(1+nx)(1+x)
[/mm]
[mm] (1+x)^{n+1}>=1+x+nx+nx^2
[/mm]
[mm] (1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x +nx^2
[/mm]
=> [mm] (1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x [/mm] für x>=-1
qed!
passt das so??
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Hallo elmanuel,
> ok das ist kein problem
>
> [mm](1+x)(1+x)^n>=(1+nx)(1+x)[/mm]
> [mm](1+x)^{n+1}>=1+x+nx+nx^2[/mm]
> [mm](1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x +nx^2[/mm]
>
> => [mm](1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x[/mm] für x>=-1
>
> qed!
>
> passt das so??
Ja, das sieht für den Induktionsschritt ganz gut aus. Deine Abschätzungen kannst du noch begründen (erste: IV, zweite: Quadrat nichtnegativ)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:15 Do 09.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
Danke Leute!
Achja eins noch Kamaleonti was meinst du mit "erster einschätzung IV" ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Do 09.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
kamaleonti meinte wahrscheinlich
> [mm] (1+x)(1+x)^n>=(1+nx)(1+x)
[/mm]
gilt wegen [mm] x\ge{-1} [/mm] und der IV [mm] (1+x)^n\ge1+nx
[/mm]
> [mm] (1+x)^{n+1}>=1+x+nx+nx^2
[/mm]
> [mm] (1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x +nx^2
[/mm]
> => [mm] (1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x [/mm] für x>=-1
Gilt weil [mm] nx^2\ge{0} [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] n\ge{0}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Do 09.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
ah ... alles klar! thx :)
ich habe an die römische 4 gedacht, deswegen war ich etwas verwirrt
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