Beweis 2. GWS < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} [/mm] komplexe Folgen mit den Limites a,b [mm] \in \mathbb{C}. [/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=ab [/mm] . |
Hallo,
also meine Idee hierzu:
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann ex. ein [mm] N_1,N_2 [/mm] mit
[mm] |a_n-a|<\bruch{\epsilon}{2} (n>N_1)
[/mm]
[mm] |b_n-b|<\bruch{\epsilon}{2} (n>N_2)
[/mm]
Also: [mm] \forall n>N:=max(N_1,N_2) [/mm] gilt
[mm] |(a_nb_n)-(ab)|\le|(a_n-a)b_n|+|(b_n-b)a|\le|\bruch{\epsilon}{2}b_n|+|\bruch{\epsilon}{2}a|
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, dass da ja noch das [mm] b_n [/mm] und das a drin ist.....letzten Endes müsste ich doch [mm] \epsilon [/mm] rausbekommen, damit die Aussage als bewiesen gilt, oder?
Danke schonmal für Tips.
Gruß
congo
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Hallo congo,
> Seien [mm]\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/mm]
> komplexe Folgen mit den Limites a,b [mm]\in \mathbb{C}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass dann gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=ab[/mm] .
> Hallo,
>
> also meine Idee hierzu:
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Dann ex. ein [mm]N_1,N_2[/mm] mit
>
> [mm]|a_n-a|<\bruch{\epsilon}{2} (n>N_1)[/mm]
>
> [mm]|b_n-b|<\bruch{\epsilon}{2} (n>N_2)[/mm]
ok, man bekommt es natürlich auch hin, dass [mm] $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}$ [/mm] und [mm] $|b_n-b|<\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)},1\right\}$
[/mm]
Entsprechende [mm] $N_1, N_2$ [/mm] existieren, da die Folgen [mm] $(a_n), (b_n)$ [/mm] konvergent sind.
Beachte, dass mit [mm] $|b_n-b|<\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)},1\right\}$ [/mm] dann für alle [mm] $n>N_2$ [/mm] gilt: [mm] $|b_n|=|b_n-b+b|\le |b_n-b|+|b|\le [/mm] 1+|b| \ [mm] (\star)$
[/mm]
Dann wie bei dir [mm] $N:=\max\{N_1,N_2\}$
[/mm]
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> Also: [mm]\forall n>N:=max(N_1,N_2)[/mm] gilt
>
> [mm]|(a_nb_n)-(ab)|\le|(a_n-a)b_n|+|(b_n-b)a| [/mm]
Mit dem Obigen nun weiter:
[mm] $=|b_n||a_n-a| [/mm] \ + \ [mm] |(b_n-b)a|$
[/mm]
[mm] $\underbrace{\le}_{(\star)}(1+|b|)|a_n-a| [/mm] \ + \ [mm] |a||b_n-b|$
[/mm]
[mm] $\le (1+|b|)\cdot{}\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)} [/mm] \ + \ [mm] |a|\cdot{}\frac{\varepsilon}{2|a|+2}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{\varepsilon}{2} [/mm] \ + \ [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
[mm] $=\varepsilon$
[/mm]
> [mm] \le|\bruch{\epsilon}{2}b_n|+|\bruch{\epsilon}{2}a|[/mm]
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> Mein Problem ist jetzt, dass da ja noch das [mm]b_n[/mm] und das a
> drin ist.....letzten Endes müsste ich doch [mm]\epsilon[/mm]
> rausbekommen, damit die Aussage als bewiesen gilt, oder?
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> Danke schonmal für Tips.
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> Gruß
> congo
Gruß
schachuzipus
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Ah, ok. Danke für die ausführliche Antwort!
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